Une équation trigonométrique

[Dacu]

Bonjour,

Déterminer le nombre de racines réelles de l'équation:
.

Cordialement,

Dacu

[nodgim]

Dessine (aussi bien que possible) sur le même graphe les fonctions f(x) = x + 189 et g(x) = 1964 sin x . ça te donnera une idée sur le nombre d'intersections, et donc le nombre de solutions. ( 1250 ? )

[Dacu]

Salut,

Certains disent que a 1249 des racines réelles....D'autres disent que a 1251 des racines réelles...

Cordialement,

Dacu

[Ben314]

Salut,
Je vais quand même pas faire les calculs à ta place, mais vu la tête de f, la dérivée est périodique, donc c'est le même tableau de variation sur des intervalles de 2.pi en 2.pi et c'est complètement élémentaire de voir sur quels intervalles (de largeur 2.pi) il va y avoir des solutions à ton bidule.

Bref, c'est un simple calcul. Chiant certes, mais complètement élémentaire et ne demandant pas le moindre début "d'astuce".

[chan79]

Salut
Il s'agit de chercher le nombre de points d'intersection de la droite d d'équation y=(x+189)/1964
et de la sinusoïde y=sin(x)
La droite d coupe la droite d'équation y=1 au point (1775,1)
La droite d coupe la droite d'équation y=-1 au point (-2153,1)
565*pi<1775<566*pi
-686*pi<-2153<-685*pi
Ensuite, montre que le nombre cherché est 566+685=1251

[chan79]

pour confirmer, après avoir vérifié que l'écart entre deux racines est toujours strictement supérieur à 0,1



Evidemment, ça marche car il y a continuité de k

[nodgim]

D'accord avec 1251. Sur dessin, y a un truc vicelard pour x négatif à pas louper quand la droite x+189 coupe l'axe y : la période de la sinusoïde qui chevauche ne coupe qu'une seule fois la droite x+189, alors qu'elle coupe celle ci 2 fois par période partout ailleurs.

[Ben314]

Même avec du "pur calcul", c'est quand même trivial :

Si alors est périodique et, si on pose , la fonction est décroissante sur tout puis croissante sur avec .

Il n'y a plus qu'à compter le nombre de tels que ainsi que le nombre de tels que puis à sommer les deux.

Vu que chacun des deux encadrement se ramènent clairement à du , il n'y a pas la moindre difficulté.