Une équation diophantique

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Dacu
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Une équation diophantique

par Dacu » 03 Mar 2020, 08:52

Bonjour à tous,

Résoudre l'équation .

Cordialement,

Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.



nodgim
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Re: Une équation diophantique

par nodgim » 03 Mar 2020, 10:42

Pas de solution, il me semble.

Black Jack

Re: Une équation diophantique

par Black Jack » 03 Mar 2020, 19:39

x = y = z = 0

8-)

GaBuZoMeu
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Re: Une équation diophantique

par GaBuZoMeu » 03 Mar 2020, 20:03

On peut raisonner modulo 101.

On ne dit pas diophantique, mais diophantienne.

Dacu
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Re: Une équation diophantienne.

par Dacu » 04 Mar 2020, 08:07

Black Jack a écrit:x = y = z = 0 8-)


Bonjour,

Comment montrer que est la seule solution?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.

Dacu
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Re: Une équation diophantienne

par Dacu » 04 Mar 2020, 08:13

GaBuZoMeu a écrit:On peut raisonner modulo 101.

Veuillez très joli donner des détails!Merci beaucoup!
GaBuZoMeu a écrit:On ne dit pas diophantique, mais diophantienne.

Des milliers d'excuses, vous avez raison!

Cordialement,

Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.

GaBuZoMeu
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Re: Une équation diophantique

par GaBuZoMeu » 04 Mar 2020, 08:57

On peut aussi raisonner modulo 5, c'est plus économique.
Que devient l'équation quand on réduit modulo 5 ?

nodgim
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Re: Une équation diophantique

par nodgim » 04 Mar 2020, 09:58

On peut aussi raisonner sans aucun modulo.

Idriss
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Re: Une équation diophantique

par Idriss » 04 Mar 2020, 11:14

GaBuZoMeu a écrit:On peut raisonner modulo 101.


GaBuZoMeu a écrit:On peut aussi raisonner modulo 5, c'est plus économique.


Et comment fais-tu pour te débarrasser des solutions de la forme x=i*5*101 y=j*5*101 z=k*5*101 ?

Idriss
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Re: Une équation diophantique

par Idriss » 04 Mar 2020, 11:16

nodgim a écrit:On peut aussi raisonner sans aucun modulo.


Comment, alors ?

Idriss
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Re: Une équation diophantique

par Idriss » 04 Mar 2020, 11:19

Ok, je comprends : l'équation est homogène.

GaBuZoMeu
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Re: Une équation diophantique

par GaBuZoMeu » 04 Mar 2020, 11:36

On part d'une solution non triviale, s'il y en a une, et on peut supposer x, y, z premiers entre eux dans leur ensemble.

nodgim
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Re: Une équation diophantique

par nodgim » 04 Mar 2020, 13:33

2019 x² + 2020 y² = 2018 z²
====> x = 2x' et z = 2z'

2019 x'² + 505 y² = 2018 z'²

Là, il faut laisser tomber avec x', y et z' pairs ( descente infinie) sauf la solution triviale (0,0,0)

x' = 2x'' + 1 et y = 2y'+1

2019 ( 4 x"² + 4x") + 505 ( 4 y'² + 4y) + 2524 = 2018 z'²

Il faut z'= 2z"

2019 (x"²+x") + 505 (y'²+y') + 631 = 2018 z"².

Or impossible car le membre de gauche est impair et le membre de droite pair.

GaBuZoMeu
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Re: Une équation diophantique

par GaBuZoMeu » 04 Mar 2020, 14:34

Bien joué, mais le passage modulo 5 me semble un peu plus expéditif.

nodgim
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Re: Une équation diophantique

par nodgim » 04 Mar 2020, 19:15

Certainement. Disons que la réflexion sur la parité est ce qui apparaît en premier, et ici elle a abouti, ce qui n'est pas toujours le cas.

Dacu
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Re: Une équation diophantique

par Dacu » 07 Mar 2020, 09:12

nodgim a écrit:2019 x² + 2020 y² = 2018 z²
====> x = 2x' et z = 2z'

2019 x'² + 505 y² = 2018 z'²

Là, il faut laisser tomber avec x', y et z' pairs ( descente infinie) sauf la solution triviale (0,0,0)

x' = 2x'' + 1 et y = 2y'+1

2019 ( 4 x"² + 4x") + 505 ( 4 y'² + 4y) + 2524 = 2018 z'²

Il faut z'= 2z"

2019 (x"²+x") + 505 (y'²+y') + 631 = 2018 z"².

Or impossible car le membre de gauche est impair et le membre de droite pair.

Bonjour,

Simple, élégant et compréhensible pour tous!Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu
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Dacu
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Re: Une équation diophantique

par Dacu » 07 Mar 2020, 09:35

GaBuZoMeu a écrit:Bien joué, mais le passage modulo 5 me semble un peu plus expéditif.

Bonjour,

Veuillez très joli donner des détails dans ce cas!Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu
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GaBuZoMeu
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Re: Une équation diophantique

par GaBuZoMeu » 07 Mar 2020, 09:43

As-tu réduit l'équation modulo 5 ? Qu'est-ce que tu trouves ?

Idriss
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Re: Une équation diophantique

par Idriss » 07 Mar 2020, 13:41

Dacu a écrit:Résoudre l'équation


A noter que vue que l'équation est homogène on a pour le même prix la solution sur les rationnels (x=y=z=0).

Dacu
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Re: Une équation diophantique

par Dacu » 07 Mar 2020, 20:32

Idriss a écrit:
Dacu a écrit:Résoudre l'équation


A noter que vue que l'équation est homogène on a pour le même prix la solution sur les rationnels (x=y=z=0).

Bonsoir,

Je ne comprends pas! Quelle théorie dit ça ? :roll:

Cordialement,

Dacu
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