Une équation diophantique
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Dacu
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par Dacu » 03 Mar 2020, 08:52
Bonjour à tous,
Résoudre l'équation
où
.
Cordialement,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
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nodgim
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par nodgim » 03 Mar 2020, 10:42
Pas de solution, il me semble.
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Black Jack
par Black Jack » 03 Mar 2020, 19:39
x = y = z = 0
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 03 Mar 2020, 20:03
On peut raisonner modulo 101.
On ne dit pas diophantique, mais diophantienne.
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Dacu
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par Dacu » 04 Mar 2020, 08:07
Black Jack a écrit:x = y = z = 0
Bonjour,
Comment montrer que
est la seule solution?Merci beaucoup!
Cordialement,
Dacu
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Dacu
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par Dacu » 04 Mar 2020, 08:13
GaBuZoMeu a écrit:On peut raisonner modulo 101.
Veuillez très joli donner des détails!Merci beaucoup!
GaBuZoMeu a écrit:On ne dit pas diophantique, mais diophantienne.
Des milliers d'excuses, vous avez raison!
Cordialement,
Dacu
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 04 Mar 2020, 08:57
On peut aussi raisonner modulo 5, c'est plus économique.
Que devient l'équation quand on réduit modulo 5 ?
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nodgim
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par nodgim » 04 Mar 2020, 09:58
On peut aussi raisonner sans aucun modulo.
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Idriss
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par Idriss » 04 Mar 2020, 11:14
GaBuZoMeu a écrit:On peut raisonner modulo 101.
GaBuZoMeu a écrit:On peut aussi raisonner modulo 5, c'est plus économique.
Et comment fais-tu pour te débarrasser des solutions de la forme x=i*5*101 y=j*5*101 z=k*5*101 ?
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Idriss
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par Idriss » 04 Mar 2020, 11:16
nodgim a écrit:On peut aussi raisonner sans aucun modulo.
Comment, alors ?
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Idriss
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par Idriss » 04 Mar 2020, 11:19
Ok, je comprends : l'équation est homogène.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 04 Mar 2020, 11:36
On part d'une solution non triviale, s'il y en a une, et on peut supposer x, y, z premiers entre eux dans leur ensemble.
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nodgim
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par nodgim » 04 Mar 2020, 13:33
2019 x² + 2020 y² = 2018 z²
====> x = 2x' et z = 2z'
2019 x'² + 505 y² = 2018 z'²
Là, il faut laisser tomber avec x', y et z' pairs ( descente infinie) sauf la solution triviale (0,0,0)
x' = 2x'' + 1 et y = 2y'+1
2019 ( 4 x"² + 4x") + 505 ( 4 y'² + 4y) + 2524 = 2018 z'²
Il faut z'= 2z"
2019 (x"²+x") + 505 (y'²+y') + 631 = 2018 z"².
Or impossible car le membre de gauche est impair et le membre de droite pair.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 04 Mar 2020, 14:34
Bien joué, mais le passage modulo 5 me semble un peu plus expéditif.
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nodgim
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par nodgim » 04 Mar 2020, 19:15
Certainement. Disons que la réflexion sur la parité est ce qui apparaît en premier, et ici elle a abouti, ce qui n'est pas toujours le cas.
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Dacu
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par Dacu » 07 Mar 2020, 09:12
nodgim a écrit:2019 x² + 2020 y² = 2018 z²
====> x = 2x' et z = 2z'
2019 x'² + 505 y² = 2018 z'²
Là, il faut laisser tomber avec x', y et z' pairs ( descente infinie) sauf la solution triviale (0,0,0)
x' = 2x'' + 1 et y = 2y'+1
2019 ( 4 x"² + 4x") + 505 ( 4 y'² + 4y) + 2524 = 2018 z'²
Il faut z'= 2z"
2019 (x"²+x") + 505 (y'²+y') + 631 = 2018 z"².
Or impossible car le membre de gauche est impair et le membre de droite pair.
Bonjour,
Simple, élégant et compréhensible pour tous!Merci beaucoup!
Cordialement,
Dacu
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Dacu
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par Dacu » 07 Mar 2020, 09:35
GaBuZoMeu a écrit:Bien joué, mais le passage modulo 5 me semble un peu plus expéditif.
Bonjour,
Veuillez très joli donner des détails dans ce cas!Merci beaucoup!
Cordialement,
Dacu
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 07 Mar 2020, 09:43
As-tu réduit l'équation modulo 5 ? Qu'est-ce que tu trouves ?
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Idriss
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par Idriss » 07 Mar 2020, 13:41
Dacu a écrit:Résoudre l'équation
où
A noter que vue que l'équation est homogène on a pour le même prix la solution sur les rationnels (x=y=z=0).
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Dacu
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par Dacu » 07 Mar 2020, 20:32
Idriss a écrit: Dacu a écrit:Résoudre l'équation
où
A noter que vue que l'équation est homogène on a pour le même prix la solution sur les rationnels (x=y=z=0).
Bonsoir,
Je ne comprends pas! Quelle théorie dit ça ?
Cordialement,
Dacu
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