Une ellipse est une ellipse

[azf]

Une ellipse est une ellipse
Évidemment !

Mais elle peut aussi nous renseigner sur quelque chose pour peu que son équation cartésienne soit écrite d'une certaine façon

Dans le plan affine on considère un repère cartésien orthonormé noté

et on considère un triangle non plat

On pose (ce qui est conventionnel comme notation)

l'angle intérieur en du triangle
l'angle intérieur en du triangle
l'angle intérieur en du triangle





On se donne un nombre réel strictement positif

et deux nombres réels quelconques et

Que peut-on remarquer à propos de la conique notée d'équation cartésienne (par rapport au repère ) ?






Certes c'est une ellipse (car c'est une ellipse comme on peut le démontrer en la réduisant) mais il y a autre chose à remarquer

Ainsi écrite son équation cartésienne peut nous renseigner sur quelque chose mais sur quoi?

[azf]

Un indice

Je pense qu'on va voir où je veux en venir sachant que si et sont les coordonnées barycentriques de deux points et par rapport à
et selon et en posant (pour éviter la lourdeur de l'écriture)
alors on vérifie
et sachant qu'un point d'un cercle est toujours situé à la même distance que le centre de ce cercle et que je le dise comme indication je pense que ça donne une indication pour voir dans cette ellipse autre chose qu'une ellipse larguée au pif dans un plan même si évidemment c'est une ellipse et rien d'autre qu'une ellipse

[azf]

une figure pour accompagner le propos

[azf]

Un dernier indice :

Pour un repère barycentrique et un repère cartésien orthonormé noté fixés:

La relation à trouver qui lie ce cercle à cette ellipse est bijective

[azf]

Bon alors évidement là c'est évident (à tel point que ça en devient saoulant lol et pourtant j'ai rien bu depuis ... je ne sais même plus depuis quand)

La relation est la suivante

Pour un repère barycentrique et un repère cartésien orthonormé donnés

En notant par la somme des coordonnées barycentriques d'un point quelconque

Considérons un cercle de centre de coordonnées barycentriques et de rayon

alors un point de coordonnées barycentriques par rapport à appartient à ce cercle

ssi le point de coordonnées cartésiennes par rapport au repère appartient à la conique (qui d'ailleurs sera toujours une ellipse) d'équation cartésienne (par rapport à )






selon l'écriture de l'équation cartésienne de cette ellipse dans le post initial
et et

À la limite on peut dire que le sujet est clos puisqu'on a la relation mais si c'est pour parler de cette relation (à présent qu'elle est décrite) je pense qu'il est inutile d'en parler ailleurs et du coup si c'est pour faire ça alors autant rester sur ce sujet et c'est d'ailleurs ce que je vais faire