Une écharpe sur une ellipse excentrée

[DBA_bin]

Bonjour,

Voila, je n'ai pas réussi à résoudre ce problème, et si vous pouviez m'éclairer de vos lumières, je l'apprécierais grandement :

Soit une écharpe posée sur une ellipse de grand rayon a et de petit rayon b extrudée (type boite de "Caprice des dieux") avec ses deux extrémités libres à la même altitude.
L'ellipse tourne d'un angle alpha sur un axe perpendiculaire à elle, excentré de e par rapport à son centre.

On demande la fonction de alpha, a, e et b donnant la distance finale entre les deux extrémités libres, en supposant qu'il n'y a aucun glissement entre l'ellipse et l'écharpe.

Ci-dessous un schéma (assez mal fait, c'est vrai) qui représente la situation dans trois cas différents : départ (alpha = 0°), demi-tour (alpha = 90°) et 3/4 de tour (alpha = 180°).

Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci par avance !

[abcd22]

Bonjour,

Soit une écharpe posée sur une ellipse de grand rayon a et de petit rayon b extrudée (type boite de "Caprice des dieux") avec ses deux extrémités libres à la même altitude.
L'ellipse tourne d'un angle alpha sur un axe perpendiculaire à elle, excentré de e par rapport à son centre.

L'ellipse et l'écharpe sont obligatoirement dans la position du schéma : axe focal de l'ellipse perpendiculaire à la droite qui joint les deux extrémités de l'écharpe, centre de rotation sur l'axe focal? Est-ce que e a un rapport avec l'excentricité de l'ellipse?

On demande la fonction de alpha, a, e et b donnant la distance finale entre les deux extrémités libres, en supposant qu'il n'y a aucun glissement entre l'ellipse et l'écharpe.

La distance ou seulement la différence d'altitude comme ce qui est indiqué sur le schéma?

Si on cherche la différence d'altitude (et je ne pense pas qu'on puisse s'en passer pour calculer la distance) on s'aperçoit qu'il faut calculer des longueurs d'arcs d'ellipse et je ne crois pas qu'il y ait une formule exacte simple pour ça, on trouve des intégrales elliptiques, on doit pouvoir trouver une approximation numérique du résultat.

[DBA_bin]

Bonjour,

Merci de ton intérêt.
En effet, quand alpha = 0°, le grand axe de l'ellipse est vertical.

L'excentricité e n'a pas de rapport avec celle de l'ellipse, on a juste e
Moi je cherche la différence d'altitude seulement, tu as raison.

Sinon, les formules de périmètre approché de l'ellipse permettent de s'affranchir de l'intégrale, non ? Je pense que ces formules approximeront assez bien le résultat.

[Ben314]

Salut,
Perso, j'ai trouvé que si tu tourne d'un angle alors la différence d'altitude est :
où avec dans le même intervalle que (et, évidement, lorsque )
Mais je suis un peu une bille en calcul...
Si abcd22 a trouvé pareil, ça doit être bon...

[DBA_bin]

Merci !
Euh, si tu le dis...parce que tu es peut-être une bille, mais alors, qu'est-ce que je devrais dire !!! ^^
Est-ce que tu pourrais me dire comment tu as fait stp ? Peut-être peux-tu scanner tes calculs ou bien juste m'expliquer la méthode.

[Ben314]

J'ai pris une paramétrisation de l'élipse de départ E_o (centrée en P) :
x=a.cos(theta)
y=b.sin(theta)-e
J'ai appliqué une rotation d'angle alpha centrée en P :
(x;y) -> (cos(alpha)x-sin(alpha)y ; sin(alpha)x+cos(alpha)y)
Pour avoir une paramétrisation de l'élipse E_alpha.
puis j'ai cherché les coordonnées des deux point où la tangente à E_alpha est verticale.
Ensuite il n'y a plus qu'à calculer la longueur d'écharpe qui s'est enroulée d'un coté (et déroulé de l'autre) : c'est l'intégrale éliptique qui apparait.