Une contribution d'Euler

par **Zweig** » 07 Mar 2008, 18:09

Ce problème a été inventé par Euler (que je ne présente plus :ptdr:) qui ne l'a jamais publié. Ce sont les organisateurs des olympiades russes qui ont retrouvé ce problème dans les notes d'Euler et l'ont proposé à l'olympiade russe, où personne n'a pu donné une solution :marteau: :cry:

... C'est donc un problème ultra-difficile, donc je vous laisse chercher et je vous donnerais, si vous séchez, la brillante solution donnée par un membre de l'équipe allemande des OIM, Eric Müller.

Voici le problème :

Montrer que si

, alors

peut être représenté sous la forme

, avec

et

impairs.

par **ffpower** » 07 Mar 2008, 18:26

ouais,on sent que c est le genre de truc pas facile.je prefere les equations fonctionelles lol

par **_-Gaara-_** » 07 Mar 2008, 19:28

Salut Zweig,

Zweig a écrit:vous séchez, la brillante solution donnée par un membre de l'équipe allemande des OIM, Eric Müller.

Bah ouais, Deutch ist gut après tout ^^

Dis pour la démonstration, c'est astucieux ou il faut connaître un théorème précis ? :help:

par **Zweig** » 07 Mar 2008, 19:42

C'est de l'astuce principalement.

par **_-Gaara-_** » 07 Mar 2008, 20:16

bon je me lance mais je ne sais même pas si c'est bon.. Bref ^^

eq

x impair et y impair donc

x=2k+1

y= 2m+1

eq

donc

tout çà pour çà quoi.. Je ne sais pas s'il existe un truc pour pouvoir torcher çà direct..

Maitenant reste à démontrer que tout nombre n supérieur ou égal à 3 peut s'écrire sous cette forme et c'est fini.... :briques:

Tu as une indication Zweig ?? :we:

par **Zweig** » 07 Mar 2008, 20:25

Les mots maîtres ici sont "récurrence" et "tableau" ... Pourquoi "tableau" ? Parce que la réponse se trouve dans la tableau que vous aurez dressé via la récurrence sur les premières valeurs de

... Essayez de trouver une relation pour passer de la paire

d'une colonne à la paire

de la colonne suivante !

n |3|4| ....
-------------
x |..|..| ....
-------------
y |..|..|....
-------------

Conjecturez cette relation, puis démontrez-la !

par **_-Gaara-_** » 07 Mar 2008, 20:30

Zweig a écrit:
n |1|2| ....
-------------
x |..|..| ....
-------------
y |..|..|....
-------------

Il ne faut pas commencer par n = 3 normalement ? :hein:

par **Zweig** » 07 Mar 2008, 20:32

Si si bien sûr, j'ai tapé trop vite, comme d'hab, je ne me relis pas :dodo:

par **_-Gaara-_** » 07 Mar 2008, 20:49

n |3|4|5|6|7|
-------------
x |1|1|1|..
-------------
y |1|3|5|..
-------------

je ne vois pas la relation oO

Mais dis, ce que j'ai fait c'est n'importe quoi ? oO :cry:

par **_-Gaara-_** » 07 Mar 2008, 20:55

C'est pas par hasard les termes impairs de la suite de fibonacci ? xD

par **ThSQ** » 07 Mar 2008, 21:05

Je l'ai vu l'an dernier. C'est atrocement astucieux.

par **_-Gaara-_** » 07 Mar 2008, 21:21

ThSQ a écrit:Je l'ai vu l'an dernier. C'est atrocement astucieux.

lol si tu le dis c'est que c'est hyper dur :doh:

par **Zweig** » 07 Mar 2008, 21:29

Non Gaara, pas de Fibbonaci dans l'air ... En fait, y'a besoin de se servir d'aucun théorème déjà connu. Dès lors que tu as trouvé la (enfin les) relations liant chaque couple d'une colonne à la suivante, alors t'as déjà fait le plus gros boulot.

par **Zweig** » 06 Mai 2008, 21:51

Voici la solution (ça commence à la page de gauche, après que l'auteur ait prit soin de vanter les mérites de Müller :ptdr: )

http://img88.imageshack.us/img88/6927/amt007pi2.jpg

par **Joker62** » 07 Mai 2008, 00:44

étrangemment, moi qui n'aime pas du tout ces espèces de problèmes, j'avoue craqué totalement pour celui-ci :)
Merci ;)

par **lapras** » 07 Mai 2008, 09:17

Tout simplement incroyable.
La relation entre les x et les y était difficile à remarquer. J'aime bien le coup du facteur 7 ajouté car on a un 7 dans l'équation lol.

Une contribution d'Euler

Une contribution d'Euler

Qui est en ligne