Trouver les distances

[chan79]

salut

[Ben314]

Salut,
Ma mémoire étant... ce qu'elle est (hélas...) et vu que la dernière fois que j'ai voulu utiliser les options de recherches dans le forum ça c'est terminé par "je comprend pas comment ça marche" (la viellerie ?) je pose la question direct :

On l'a pas déjà fait il y a quelques temps ça ?

(ce qui n'enlève rien à l'intérêt de l'énigme : il y a forcément des nouveaux depuis...)

P.S. : Je trouve AB=7 ; BC=9 ; CA=8 (mais en factorisant "miraculeusement" un polynôme de degré 3 qui, dans le cas de longueur quelconques ne se factorise pas très bien)

[laetidom]

Salut Chan et Ben,

A mon plus faible niveau, j'essaye de trouver :



J'ai établis déjà que :










De plus, je sais que les angles °
et que ceux-là valent : °

mais je pioche un peu . . . un petit indice ? . . .

[chan79]

On l'a pas déjà fait il y a quelques temps ça ?

on a fait ça:
https://www.maths-forum.com/lycee/rapport-bissectrices-t181897.html

c'est bien 7, 8 et 9

[Ben314]

Oui ça doit effectivement être à ça que ça me faisait penser, mais c'est pas franchement la même chose (l'autre est nettement plus simple que celui là...).

@laetidom : Si tu continue sur cette voie là (je suis pas certain que ce soit la meilleure, mais ça reste a voir), je pense qu'il faut essayer d'exprimer (et les autres) en fonction de via le fait que puis en utilisant les relations trigo. du style .
Sauf que le passage aux arcs moitiés (i.e. le et le ) risque de rendre les calculs passablement compliqués.

Perso, j'ai exprimé les distance en fonction de (ça, ça se fait très bien et ça donne des formules très simples) puis j'ai essayé "d'inverser" les formules (là, par contre, ça se passe pas bien dans le cas général, mais ici, avec les valeurs particulières données, on y arrive).

Peut-être que Chan a plus simple...

[laetidom]

Merci Ben !, je vais essayer ! . . .

[danyL]

j'essaye ...

I est le centre du cercle inscrit de rayon R
la hauteur IC' du triangle AIB est un rayon du cercle
de meme pour IA' hauteur de BIC
et IB' hauteur de AIC

AC = AB' + B'C
AB = AC' + C'B
BC = BA' + A'C

comme la droite AI est une bissectrice on a AB' = AC'
de meme BC' = BA'
et CB' = CA'

dans le triangle AIC, IC' est une hauteur
donc AB'² + R² = 14
et CB'² + R² = 21

de meme dans BIC
BA'² + R² = 30
CA'² + R² = 21

dans AIC
AC'² + R² = 14
BC'² + R² = 30

on peut éliminer R² en soustrayant, on obtient
CB'² - AB'² = 7
BA'² - CB'² = 9
BA'² - AB'² = 16

presque les réponses 7 8 9 mais je ne vois pas pq ...
et comment continuer, il doit me manquer une équation ...

[Lostounet]

CB'² - AB'² = 7
BA'² - CB'² = 9
BA'² - AB'² = 16

Edit (suite au message de Ben): Si on avait
CB' = 4
AB' = 3
BA' = 5

Cela permettrait de conclure car les deux triangles IB'A et IC'A sont identiques: deux triangles rectangles avec une hypoténuse [AI] commune et deux angles AIC' et AIB' égaux (à 90 - A/2 chacun).

Cela signifie que AB = AC' + C'B = AB' + A'B = 3 + 5 = 8
AC = AB' + B'C = 3 + 4 = 7
BC = BA' + A'C = 5 + CB' = 5 + 4 = 9

[Ben314]

CB'² - AB'² = 7
BA'² - CB'² = 9
BA'² - AB'² = 16

Tu trouves un système de 3 équations à trois inconnues. Il a pour solutions (positives)
CB' = 4
AB' = 3
BA' = 5

Hummmm....
J'ai de gros doutes : tu as certes sous les yeux "trois" équations, mais compte tenu du fait que la troisième est égale à la somme de la première et la deuxième, j'ai bien peur que le "trois" soit... à mettre entre guillemets...
Et avec uniquement deux équations, ça me semble mal barré pour déterminer LA solution.
(par exemple , et est aussi solution du système)

Sinon, je sais pas ce que dira Chan, mais je pense qu'on ne peut pas couper à une "grosse augmentation du degré" i.e. à se retrouver avec une équation de degré au moins 3 (mais avec une "racine évidente).
Et concernant "l'équation qui manque", ça pourrait par exemple être celle consistant à exprimer R à l'aide de la longueur des cotés (équation qu'on peut (re)trouver par exemple grâce à l'expression de l'aire du triangle à l'aide des 3 triangles de hauteur R, ET à l'aide de la formule de Héron)

[Lostounet]

@ Ben: Ah oui j'avais pas fait gaffe. En vérité, j'ai demandé à Wolfram une solution "entière" du système. Il y en a forcément d'autres que (4 ; 3; 5). D'ailleurs c'est un triplet pythagoricien donc peut-être qu'il pourrait y avoir d'autres qui fonctionnent.

En fait je me demande comment tu exprimes AI en fonction de a, b et c? Tu ne passes donc pas par la loi des Sinus? ou bien tu élimines les angles d'une certaine manière?

[laetidom]

Salut @ tous,

Je suis un peu comme Lostounet et je cherche la méthode de Ben qui exprime AI en fonction de a, b et c . . . Pour l'instant je n'ai pas trouvé et la loi des Sinus ne m'aide pas . . . un petit indice supplémentaire serait le bienvenu . . . on en noircit du papier ! ... excellent cet exercice !

[Ben314]

On peut surement le faire autrement (et/ou redémontrer ce résultat), mais comme c'est un truc facile à mémoriser et qu'on utilise (relativement) fréquemment, je sais "par cœur" que le centre du cercle inscrit, c'est le barycentre de (A,a), (B,b), (C,c) ce qui signifie que .

Donc

Car

C'est un peu bourrin comme méthode, mais.... ça marche... et ça donne
Par contre, ensuite le système à résoudre est... bien pourri...

[laetidom]

Merci Ben, j'essayes ! . . .

Pour AI, j'arrive à :

Je fais la même chose pour BI et CI . . . mais ensuite, j'ai du mal à bien visualiser ce qu'il faut faire . . . sachant que ce qui nous est demandé c'est a,b et c :
on arrive à 3 équations 3 inconnues ok mais leur présentation telle quelle n'est surement pas satisfaisante, surtout avec des carrés . . . il y a encore une astuce à comprendre ? . . .

Comment arrive t'on à ? :

[Lostounet]

Et concernant "l'équation qui manque", ça pourrait par exemple être celle consistant à exprimer R à l'aide de la longueur des cotés (équation qu'on peut (re)trouver par exemple grâce à l'expression de l'aire du triangle à l'aide des 3 triangles de hauteur R, ET à l'aide de la formule de Héron)

La voici, pour compléter le système de DanyL:

[danyL]

merci Lostounet
je crois que ça devient un peu trop compliqué pour moi
il doit y avoir une solution géométrique plus simple, que Chan garde jalousement
bonne chance aux suivants, je reviendrai si j'ai une illumination

[Ben314]

...il doit y avoir une solution géométrique plus simple, que Chan garde jalousement

Perso... j'en ait pas trouvé...
Et j'aurais légèrement tendance à penser qu'il n'y en a pas vu que de façon théorique (i.e. avec des valeurs quelconques mais connues pour AI, BI et CI), on tombe on ne peut plus naturellement sur... un polynôme de degré 3.

@laetidom : tu as du un peu te gourer concernant ton équation et qu'il te manque un carré à gauche sur le (a+b+c).
par contre à droite, le 2bc+b²+c²-a² se factorise simplement (2 identités remarquable) et ensuite tu peut simplifier par (a+b+c) (mais il t'en reste un à gauche).
Au final, tu obtient bien la formule AI²=bc(b+c-a)/(a+b+c)

Après, ça se complique : tu peut à la limite tenter de résoudre ton système (pourri) de 3 équation par substitution, mais c'est passablement calculatoire (Avec Maple ou Wolfram ou tout autre logitiel de calcul formel, ça se fait bien...)
Et sinon, modulo une astuce et de bonne connaissance en algèbre linéaire (valeurs propres/vecteurs propres), y'a moyen d'obtenir le polynôme de degré 3 qui "détermine les solutions" assez rapidement.

[chan79]

salut
J'ai trouvé aussi: (Ben a déjà détaillé le calcul précédemment)



A partir de la première égalité, on exprime a en fonction de b et c et on remplace dans les deux autres.
On obtient:
Formule A

Formule B
Ensuite, si on est raisonnable, on se contente d'une solution graphique qui donne (c,b)=(7,8)


Si on est fou, à partir des deux égalités ci-dessus, on établit une équation en c (geogebra peut faire du calcul formel)
-840 x⁹ + 62328x⁷ - 1160712x⁵ + 5935272x³ + 5647152x=0
Par chance, un logiciel donne:



Les solutions positives sont donc : , et

Seul 7 convient, car pour les deux autres, la formule B ci-dessus donne des valeurs négatives pour b.

Finalement (a,b,c)=(9,8,7)

En fait, j'avais fait le problème à l'envers (suite au post de posso49 indiqué plus haut). En partant du triangle de côtés 7, 8 et 9, c'est évidemment plus facile de trouver les distances du centre du cercle inscrit aux sommets.
Sinon, on peut établir

Mais je n'ai pas réussi à utiliser cette égalité.
On a aussi:

[Ben314]

J'ai fait quasiment pareil que ce que dit chan79, c'est à dire avec Maple pour les calculs vu le coté "bourrin" du bidule, mais j'ai du m'y prendre mieux concernant les "substitutions" :
Partant de on trouve
En substituant dans on trouve puis
Enfin, en substituant tout ça dans , on tombe sur dont le numérateur est un polynôme du 3em degrés (en ) qui admet la racine "évidente" (qui est la seule racine réelle).

Evidement, je me suis demandé s'il y avait moins "bourrin" (principalement dans le cas général) et j'ai fini par trouver un truc plus joli (à peine "capilotracté..." ):
On part donc du système général avec , , connus
Qui implique que
Ce qui, si on pose , peut s'écrire
qui signifie que est valeur propre de la matrice donc racine du polynôme caractéristique (*)

Évidement, une fois trouvé, il n'y a plus qu'à chercher un vecteur propre associé pour trouver à un facteur multiplicatif près les valeur de puis adapter le facteur pour avoir .

(*) Qui, dans le cas des valeur numérique de le l'énoncé est

EDIT : Avec le polynôme (assez simple) ci dessus, on doit pouvoir répondre au questions "naturelles" :
- Pour quelles valeurs de , , y-a-t'il une solution au problème ?
- Si solution il y a, est-elle unique ?

[Pseuda]

Bonsoir,

Il me semble qu'avec la loi des sinus dans les triangles ABI, BCI et ACI, et dans le triangle ABC, et en égalisant la somme des aires des 3 triangles avec celle d'ABC, tout en exploitant le fait que I point d'intersection des bissectrices du triangle, est à égale distance des côtés du triangle, on doit pouvoir y arriver ? J'ai essayé mais sans résultat pour l'instant.

1ère question à se poser : y a-t-il une seule et une seule solution ? Cela ne paraît pas évident avec des considérations géométriques, sans aucun calcul.

[chan79]

Partant de on trouve
En substituant dans on trouve puis
Enfin, en substituant tout ça dans , on tombe sur dont le numérateur est un polynôme du 3em degrés (en ) qui admet la racine "évidente" (qui est la seule racine réelle).

ah oui, c'est plus simple, en tous cas, moins compliqué !
A la fin de la seconde ligne ci-dessus, j'ai corrigé (il y avait b au lieu de a) pour le cas où certains voudraient reprendre le calcul.