Trois entiers

[alice02]

Montrer que si sont trois entiers consécutifs, alors est divisible par .

[nodgim]

(a-1) ^ 3 + a^3 + (a+1) ^ 3 est une écriture qui devrait beaucoup t'avancer....

[alice02]

Thanks, but how exactly?

[nodgim]

Développe et simplifie.

[anthony_unac]

Bonsoir,
L’énoncé ne finirait il pas par 3 et non 9 ?

[alice02]

Ok I arrive to and then?

[chan79]

salut
Ca paraît bon; 3n³+6n est toujours divisible par 9

[alice02]

But why it is divisible by 9?

[Lostounet]

Check this easily for n with form:
n=3k
n=3k+1
n=3k+2

[aviateur]

Bonjour
tu peux faire cela aussi:
f(a)=(a-1)^3+a^3+(a+1)^3.
f[a+1)-f(a)=9(a^2+a+1) est divisible par 9.
Donc par récurrence on a aussi f(a) est divisible par 9

[anthony_unac]

Chan79 a vu juste et un simple raisonnement par récurrence peut vous en convaincre.
Admettez que la propriété de chan79 est vraie au rang n et voyez ce que ça donne au rang (n+1)

[alice02]

Thanks Lostounet and Aviateur.
Now is clear!!

[chan79]

une autre méthode
(a-1)³+a³+(a+1)³=3a³+6a=3(a³+2a)
Il faut montrer que a³+2a est divisible par 3
or, si on calcule modulo 3
a³+2a=a(a²+2)=a(a²-1)=(a-1)a(a+1)=0 car (a-1), a et (a+1) sont consécutifs et l'un des trois est divisible par 3.