Un trio d'enfer

[Imod]

Un peu de pseudo-biologie :we:

Trois bactéries sévissent dans un tube , elles passent leur temps à se heurter et à chaque choc , la plus légère prélève à la plus lourde de quoi doubler son propre poids . Au départ chaque bactérie à une masse égale à un nombre entier d'unités de masse . Peut-on espérer que quelque soit les masses de départ , après suffisamment de chocs , il ne reste plus que deux bactéries ? Une seule ?

Imod

[AL-kashi23]

Bonjour,

Que se passe-t-il en cas de choc de bactéries de même masse ?

(j'avais mis poids mais bon je l'ai retiré vite fait bien fait au cas où un physicien se perde dans les travées de cette rubrique et :doh: au mot "poids" :ptdr: )

[Imod]

Que se passe-t-il en cas de choc de bactéries de même masse ?

Disons qu'alors l'une des deux absorbe l'autre .

Imod

[bruce.ml]

J'immagine que si une bactérie arrive à une masse nulle, ce n'est pas elle qui doublera son poids au choc suivant ?

[Imod]

J'immagine que si une bactérie arrive à une masse nulle, ce n'est pas elle qui doublera son poids au choc suivant ?

Faisons simple , une bactérie de masse nulle n'existe pas : si deux bactéries de même masse se rencontrent l'une double sa masse et l'autre disparaît :wc:

Imod

[Imod]

Une question bête, quand il y a un choc, seulement deux des trois se cognent?

Restons classique pas de triangles chez les bactéries :triste:

Donc on peut imaginer par exemple que ce seraient toujours les deux mêmes qui se cognent ou pas ?

Sauf exceptions ( faciles à caractérisées ) les chocs répétés entre les deux même bactéries ne font disparaître auncune des deux . Disons que tous les chocs sont équiprobables et que la possibilité que les deux mêmes bactéries se heurtent à l'infini n'est pas réalisable ( probabilité nulle ) .

Imod

[bruce.ml]

Je crois qu'il y a une petite imprécision dans l'énoncé que je m'en vais éclaircir par cette question : sont-ce forcément la plus lourde et la plus légère du bocal qui se rencontrent, ou bien le choc est aléatoire et le transfert a lieu entre ces deux là ?

[scelerat]

Peut-on espérer que quelque soit les masses de départ , après suffisamment de chocs , il ne reste plus que deux bactéries ? Une seule ?

Deux, on peut esperer. Ou alors, il faut trouver un ensemble de jeux de 3 entiers, 2 pairs differents et un impair (on peut facilement montrer qu'en faisant se rencontrer deux eventuelles bacteries de masse impaire, et/ou en divisant par deux toutes les masses si elles sont toutes paires, on s'y ramene) qui soit stable dans les collisions. Pas evident !

Par contre, une seule, c'est facile, il suffit de prendre une somme des masses impaire pour etre sur que jamais les deux dernieres ne seront de meme masse et qu'elles subsisteront donc indefiniment.

[Imod]

Pour être plus précis , les bactéries ne peuvent être que détruites ( pas de création ) . Peut-on en connaissant la masse totale des 3 bactéries , prévoir le nombre de bactéries à la fin ?

Par exemple avec une masse totale de 8 restera-t-il forcément une seule bactéries après suffisamment d'échanges ?

Imod

[Patastronch]

La seule chose que j'arrive a prouver c'est que,si on est dans une configuration a 2 bacteries (indispensable pour arriver a une config a une seule bacterie) alors si au bout de n chocs on detruit une bacterie c'est que la masse totale etait un multiple de 2^n.

Mais j'ai la certitude qu'une masse totale de 2^n mene a la destruction de la derniere bacterie en au plus n chocs a partir d'une configuration a 2 bacteries.

[alben]

Bonsoir,
Avec une masse totale égale à une puissance de 2, il ne restera finalement qu'une seule bactérie après un temps très long.
1 Avec seulement deux bactéries, masse totale et soit p la plus grande puissance de deux divisant la masse de l'une d'elle. p est inférieur à n et l'on montre que la masse de l'autre bactérie est également divisible par 2^p.
A chaque rencontre, l'une des bactérie double sa masse et p augmente de 1. Tant que p reste inférieur à n, il est égal pour les deux bactéries et augmente de 1 à chaque rencontre... une des bactéries disparait donc en au plus n-1 étapes.
2 avec 3 bactéries : notons p1,p2,p3 les puissances de 2 divisant la masse de chaque bactérie. supposons Alors p1=p2 et p3>p2 (on s'en assure facilement).
Tant que p1 et p2 ne se rencontrent pas, la situation reste identique, pmax peut changer mais les deux mini restent identiques.
Mais au bout d'un temps indéterminé, ils se rencontreront et le mini augmentera d'une unité. Finalement après un temps moyen de 3(n-p) (p est la valeur du p mini au départ), il ne restera qu'une bactérie.
Donc la réponse à la dernière question d'Imod est oui, mais pour 10 ?

[nuage]

Salut, et bonne année 2008.
Pour finir, comme le remarque scelerat le seul cas possible pour avoir 3 bactéries à l'infini est le cas (pair, pair, impair). Ce qui montre que le cas d'une somme des masses paire n'est pas à considérer : d'une somme égale à 10 on peut toujours arriver (avec une proba non nulle, donc avec certitude à l'infini) à la somme de trois nombres pairs et se ramener à une somme égale à 5. Ce qui fait 2 bactéries à la fin.
Mais dans le cas (pair, pair, impair) il y a toujours un chemin qui mène à l'égalité des deux nombres pairs (ça c'est une intuition non démontré, mais je suis prêt à parier cher dessus). Et on fini donc avec 2 bactéries si la somme des masses n'est pas une puissance de 2.

[modification]
pour étayer mon affirmation : il me semble que l'on peut toujours choisir un chemin qui fait décroître la différence entre les deux nombres pairs.

[alben]

D'accord avec Nuage, on a donc deux situations :
la masse totale est une puissance de 2->on finit avec une bactérie (en un temps fini)
la masse totale n'est pas une puissance de 2 : on finit avec 2 bactéries.
pour démontrer la dernière, il suffit de prouver que la configuration stable (pair, pair, impair) conduit à l'égalité des pairs avec une proba non nulle, autrement dit qu'il n'existe pas de cycle sans égalité.
Ca semble intuitivement vrai, mais pour le prouver ?

[Patastronch]

autrement dit qu'il n'existe pas de cycle sans égalité.

Non, qu'il existe toujours au moins un cycle avec égalité.

Pour le fait qu'il soit toujours possible de passer a 2 bacteries quelque soit la masse totale, il faut reussir a prouver qu'il existe toujours un cchemin qui mene aux masse m1, m2 et m3 tel que m1+m2 (ou n'importe quelle somme de 2 masses) est une puissance de 2.

Apres on tombera dans un cas connu pseudo démontré par Alben.

[nuage]

...
la masse totale n'est pas une puissance de 2 : on finit avec 2 bactéries.
pour démontrer la dernière, il suffit de prouver que la configuration stable (pair, pair, impair) conduit à l'égalité des pairs avec une proba non nulle, autrement dit qu'il n'existe pas de cycle sans égalité.
Ca semble intuitivement vrai, mais pour le prouver ?

Soit , et les trois nombres, avec et pairs, impair, .
Si une rencontre diminue la différence entre les deux pairs.
Si la rencontre diminue la différence entre les deux pairs.
Si la rencontre diminue la différence entre les deux pairs.
Ce qui, sauf erreur de ma part, suffit pour conclure.

[Patastronch]

Soit , et les trois nombres, avec et pairs, impair, .
Si une rencontre diminue la différence entre les deux pairs.
Si la rencontre diminue la différence entre les deux pairs.
Si la rencontre diminue la différence entre les deux pairs.
Ce qui, sauf erreur de ma part, suffit pour conclure.

1/ p1 forcement plus petit que 2p2 par definition t'as du te tromper. Surtout que c'est faux, ca diminue pas forcément la difference.

2/Contre exemple :p1=6 p2=8 et i=7. La rencontre entre p1 et i donne : p1=12 p2=8 et i=1. On a pas diminué la dif entre les 2 pairs.

3/ Contre exemple : p1=6 p2=8 i=301. La rencontre entre p1 et i donne :
p1=12 p2=8 et i=295. On a pas diminué la dif entre les 2 pairs.

[nuage]

Salut, et bonne année 2008.
sur le point 1 je pense que tu n'as pas bien compris.
Sur les points 2 et 3 je me suis trompé. Merci de ta critique.
Je vais essayer de préciser ça (si j'y arrive) à une heure plus décente.

A+
nuage :

[Patastronch]

Salut, et bonne année 2008.
sur le point 1 je pense que tu n'as pas bien compris.
Sur les points 2 et 3 je me suis trompé. Merci de ta critique.
Je vais essayer de préciser ça (si j'y arrive) à une heure plus décente.

A+
nuage :

Non le point 1 est tout aussi faux.
Contre exemple : p1=6 p2=8, apres rencontre on a p1=12 et p2=2. On a pas reduit la dif entre les pairs.

C'est pour ca que j'ai cru que tu t'étais trompée et que tu voulais dire (5/2 * p1<p2 comme condition)

De toute facon ce genre demo poura etre valable que si tu prouves que quelques soit l'état des 3 particules il existe au moins une rencontre (ou une suite de rencontres prédéfinie) qui reduit STRICTEMENT la dif des pairs. Ce qui me parait compliqué a faire puisque le chemin menant a 2 bacteries n'est pas strictement monotone forcement, ce qui pousse a prevoir des combinaisons de chocs pour y arriver. Ce qui peut vite devenir une litanie de cas.

[scelerat]

Apres quelques reflexions nocturnes, il me semble qu'un point important est que le pgcd des masses ne peut pas decroitre dans une collision.
Si on restreint les collisions a deux bacteries, on va decrire toutes les configurations {(n-i)p,ip} ou p est le pgcd des masses initiales et n-i et i premiers entre eux si n est impair (meme si je n'ai pas encore reussi a le prouver), passer par {(n/2)p,(n/2)p} et voir l'une des bacteries disparaitre si n est pair.

A trois bacteries, si les deux de masse paire ne peuvent se detruire entre elles, une collision avec celle de masse impaire doit forcement faire sortir du cycle...

[scelerat]

Donc la réponse à la dernière question d'Imod est oui, mais pour 10 ?

Pour n=10, c'est facile. En une collision au plus, on se ramene a des masses toutes paires, donc on divise toutes les masses par 2 et n=5. Et a n= 5, on est forcement dans la configuration ou deux masses sont egales... Donc on n'a plus que 2 bacteries de parites differentes, 4 et 1 ou 2 et 3, et on alterne indefiniment entre ces deux configurations.
On peut donc subodorer que seules les puissances de deux permettent de finir avec une seule bacterie, et que dans tous les autres cas on termine avec 2.