Trinôme du second degré

par **Jonathanxy** » 25 Nov 2008, 16:26

[FONT=Comic Sans MS]a,b,c étant des nombres impaires

Montrer que l'équation ax²+bx+c=0 admet alors des solution non rationel !!
[CENTER]
Merci de votre compréhension[/CENTER][/FONT]

par **axiome** » 25 Nov 2008, 16:48

Bonjour,
euh, perso, je poserai :

a=2k+1 avec k entier relatif
b=2k'+1 avec k entier relatif
c=2k''+1 avec k entier relatif
Tu poses a, b et c comme cela, car tu sais qu'ils sont impairs.
Puis tu remplaces a, b et c dans ton trinôme, tu calcules le discriminant et les racines.
Dès que tu as les racines, essaie de faire ta question.

C'est juste une piste que je te donne, je ne suis pas sûr du résultat : flemme de faire les calculs... :marteau:

par **anima** » 25 Nov 2008, 17:25

Jonathanxy a écrit:[FONT=Comic Sans MS]a,b,c étant des nombres impaires

Montrer que l'équation ax²+bx+c=0 admet alors des solution non rationel !!
[CENTER]
Merci de votre compréhension[/CENTER][/FONT]

On suppose que la demonstration du discriminant est connue, et fonctionne pour tout

.

Posons:

Alors,

Ceci doit pouvoir etre ecrit sous la forme

, k rationnel. Une petite preuve par l'absurde peut resoudre ca.
Je finirai ca ce soir, apres mon tuto de logique formelle.

par **Help** » 25 Nov 2008, 18:38

En continuant sur l'idée d'anima :
a = 2n+1
b = 2p+1
c = 2q+1

le discriminant vaut (4p²+4p+1)-4(4nq+2n+2q+1)
ce qui peut s'écrire aussi 4(p²+p-4nq-2n-2q-1)+1
posons U=p²+p-4nq-2n-2q-1 = p(p+1)-4nq-2n-2q-1
On remarque que U est impair

On cherche à savoir si 4U+1 peut être un carré parfait
supposons 4U+1=X²
alors 4U=X²-1, donc 4U=(X-1)(X+1)
X s'écrit alors 2Y+1, ce qui donne U=Y(Y+1) et U est forcément pair
Contradiction
Donc 4U+1 ne peut pas être un carré parfait et les racines sont donc non rationnelles.

par **Timothé Lefebvre** » 25 Nov 2008, 19:04

Jonathanxy a écrit:[font=Comic Sans MS]a,b,c étant des nombres impaires

Montrer que l'équation ax²+bx+c=0 admet alors des solution non rationel !!

[center]

Merci de votre compréhension
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[/font]

Bonsoir, c'est un exo de cours ou bien ... ?

par **lapras** » 25 Nov 2008, 19:52

Bonsoir,
je pense qu'il ne faut pas toujours foncer tête baissée dans les formules connues sur les trinômes. (delta).

Un raisonnement simple et sans trop de calculs :
supposons qu'il existe une solution

à

Alors,

avec

la deuxième racine
donc

mais par produit des racines :

donc

Si p pair, alors q impair car

or c impaire
donc pair = impaire absurde
si p impair, alors q pair sinon

pair et

impair absurde
or si q pair,

pair
et

impaire
donc pair = impair
absurde
donc il n'y a pas de solutions rationnelles

par **nodgim** » 25 Nov 2008, 19:56

Jonathanxy a écrit:[FONT=Comic Sans MS]a,b,c étant des nombres impaires

Montrer que l'équation ax²+bx+c=0 admet alors des solution non rationel !!
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Merci de votre compréhension[/CENTER][/FONT]

Euh...oui, peut être mais seulement quand il y a des solutions! :cry:

si, comme l'énoncé semble le suggérer, on se trouve dans R....

par **leon1789** » 25 Nov 2008, 20:49

Jonathanxy a écrit:[FONT=Comic Sans MS]a,b,c étant des nombres impaires

Montrer que l'équation ax²+bx+c=0 admet alors des solution non rationel !!
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Merci de votre compréhension[/CENTER][/FONT]

Question mal posée : ne serait-ce pas plutôt > ?

ax²+bx+c=0
(ax)²+b(ax)+ac = 0 car

Cela revient alors à résoudre X²+bX+ac = 0 avec les coefficients 1, b, ac impairs. Comme ce polynôme est unitaire, les solutions rationnelles (éventuelles) sont les solutions entières.
Or, en travaillant modulo 2, on voit qu'il n'y a pas de solution entière : X²+X+1 est irréductible modulo 2
Il n'y a donc pas de solution rationnelle.

par **leon1789** » 25 Nov 2008, 20:51

Timothé Lefebvre a écrit:Bonsoir, c'est un exo de cours ou bien ... ?

oui, on peut se poser la question.

En tout cas, c'est un moyen (poster dans Enigme) pour éviter les robots... et ça marche plutôt bien ! :dodo:

lapras a écrit:Bonsoir,
je pense qu'il ne faut pas toujours foncer tête baissée dans les formules connues sur les trinômes. (delta).

je suis de ton avis !

nodgim a écrit:Euh...oui, peut être mais seulement quand il y a des solutions! si, comme l'énoncé semble le suggérer, on se trouve dans R....

pourquoi pas dans C ?

par **nodgim** » 25 Nov 2008, 20:55

Oui, Lapras, c'est exactement ce que je pense :++:

Une manière un chouïa plus simple.
x=m/n, m et n entiers. I=impair.
On a alors:
I(m/n)²+I(m/n)+I=0
on supprime le dénominateur: Im²+Imn+In²=0
il faut m et n pair! mais alors m=2m et n=2n
I4m²+I4mn+I4n²=0
Les "4" disparaissent et on recommence.

Même démo que l'irrationnalité de la racine carrée de 2. :id:

par **nodgim** » 25 Nov 2008, 20:58

leon1789 a écrit:pourquoi pas dans C ?

A cause de la notion de parité. :doh:

par **leon1789** » 25 Nov 2008, 21:28

nodgim a écrit:A cause de la notion de parité. :doh:

:hein: il y a une notion de parité pour les éléments de R ?

par **leon1789** » 25 Nov 2008, 21:31

nodgim a écrit:Une manière un chouïa plus simple.
x=m/n, m et n entiers. I=impair.
On a alors:
I(m/n)²+I(m/n)+I=0
on supprime le dénominateur: Im²+Imn+In²=0
il faut m et n pair! mais alors m=2m et n=2n
I4m²+I4mn+I4n²=0
Les "4" disparaissent et on recommence.

oui, c'est simple, c'est limpide ! :++:
Im²+Imn+In²=0 => m=n=0

par **Imod** » 25 Nov 2008, 23:53

nodgim a écrit:I(m/n)²+I(m/n)+I=0
on supprime le dénominateur: Im²+Imn+In²=0
il faut m et n pair! mais alors m=2m et n=2n
I4m²+I4mn+I4n²=0
Les "4" disparaissent et on recommence.

Ou la descente infinie de Fermat :zen:

Imod

par **nodgim** » 26 Nov 2008, 19:30

leon1789 a écrit::hein: il y a une notion de parité pour les éléments de R ?

Noooooonnnnnn!!!!!! :ptdr:

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