Triangle [A,X,Xa]

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
jver
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triangle [A,X,Xa]

par jver » 23 Avr 2008, 14:42

Je ne sais pas du tout si ces problèmes intéressent autre que moi (plus quelques autres, mais que je connais!). Si non, eh bien le nombre de réponses me donnera une réponse! si oui, pareil!

Je suis dans une période "géométrie".
Alors, un problème que j'ai trouvé mignon, et pas si facile que cela:

On se donne les points A,X et Xa d'un triangle ABC (A est le sommet A, X est le point de tangence du cercle inscrit avec le côté BC et Xa est le point de tangence du cercle exinscrit au triangle ABC, dans l'angle A.
Ces trois points donnés, construire le triangle ABC.

A vos compas et à vos règles!



ffpower
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par ffpower » 23 Avr 2008, 14:55

C quoi un cercle exinscrit?et ca veut dire quoi "dans un angle"?

jver
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par jver » 23 Avr 2008, 15:13

ffpower a écrit:C quoi un cercle exinscrit?et ca veut dire quoi "dans un angle"?



ouille!
C'est un cercle tangent au prolongement de AB, au prolongement de AC et à BC

jver
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par jver » 23 Avr 2008, 15:17

ffpower a écrit:C quoi un cercle exinscrit?et ca veut dire quoi "dans un angle"?



Un conseil cependant: si tu ne sais pas ce qu'est un cercle exinscrit, je pense qu'il ne faut pas s'atteler à ce genre de question. Quoique ... why not!

jver
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indice n°1

par jver » 26 Avr 2008, 13:21

Le nombre de réponse ne tendant pas vite vers l'infini, je me permets de donner un indice.
Si I et Ia sont les centres du cercle inscrit et du cercle exinscrit dans A, et si U est le pied de la bissectrice issue de A, alors A,U,I et Ia sont en division harmonique.

Premier indice et demi: Les projections sur une droite de points qui forment une division harmonique forment une division harmonique

...

Quidam
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par Quidam » 28 Avr 2008, 16:51

jver a écrit:Si I et Ia sont les centres du cercle inscrit et du cercle exinscrit dans A, et si U est le pied de la bissectrice issue de A, alors A,U,I et Ia sont en division harmonique.

Premier indice et demi: Les projections sur une droite de points qui forment une division harmonique forment une division harmonique

...


Bonjour,

Il me semble qu'il y a une infinité de solution ! Avec la judicieuse remarque que tu as faite, on voit que, si l'on appelle Xu le projeté orthogonal de U sur AX, (A,X,Xu,Xa) forment une division harmonique. Par conséquent, la position de Xu est ainsi déterminée. U se trouve donc sur la droite passant par Xu et perpendiculaire à AX.

Mais dès lors, je pense que l'on peut choisir un point U quelconque sur cette droite, tracer AU, puis le cercle dont le centre est à l'intersection de la perpendiculaire à AX passant par X et de AU, et qui passe par X, et enfin, le cercle dont le centre est à l'intersection de la perpendiculaire à AX passant par Xa et de AU, et qui passe par Xa.

La deuxième tangente issue de A au premier de ces cercles est nécessairement tangente au deuxième cercle. Et, si le point U est extérieur aux deux cercles, le point U est situé sur les deux autres tangentes communes à ces deux cercles : l'une quelconque de ces tangentes peut jouer le rôle du troisième côté BC de ABC.

Si je ne me trompe pas donc, comme la construction dépend de U qui est quelconque sur la perpendiculaire à AX passant par Xu, il y a donc une infinité de triangles ABC répondant à la question. En fait U n'est pas tout à fait quelconque, car il faut que les deux cercles ainsi construits aient bien quatre tangentes communes : deux à l'extérieur et deux à l'intérieur. Donc il ne faut pas dépasser une certaine limite pour U car à partir d'une certaine distance, les cercles seraient sécants.


Sauf erreur !

jver
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par jver » 28 Avr 2008, 22:26

Quidam a écrit:Bonjour,

Il me semble qu'il y a une infinité de solution ! Avec la judicieuse remarque que tu as faite, on voit que, si l'on appelle Xu le projeté orthogonal de U sur AX, (A,X,Xu,Xa) forment une division harmonique. Par conséquent, la position de Xu est ainsi déterminée. U se trouve donc sur la droite passant par Xu et perpendiculaire à AX.
.......


Je ne comprends pas trop (il faudrait que tu envoies une figure), car A,X,Xu et Xa ne sont pas alignés.

Ceux qui sont alignés, en revanche, sont D,X,U,Xa où D est la projection de A sur la droite définie par XXa. Donc, à mon avis, U est défini, de manière unique.

Ensuite, mais tu y es!

Il me semble que la solution, si elle existe, est unique!

Quidam
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par Quidam » 29 Avr 2008, 00:22

jver a écrit:Je ne comprends pas trop (il faudrait que tu envoies une figure), car A,X,Xu et Xa ne sont pas alignés.

Ceux qui sont alignés, en revanche, sont D,X,U,Xa où D est la projection de A sur la droite définie par XXa. Donc, à mon avis, U est défini, de manière unique.

Ensuite, mais tu y es!

Il me semble que la solution, si elle existe, est unique!


OK ! Tu as tout à fait raison ! J'avais mal lu l'énoncé. J'ai effacé mon post qui n'avait rien à faire ici. Désolé :hum:

 

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