jver a écrit:Si I et Ia sont les centres du cercle inscrit et du cercle exinscrit dans A, et si U est le pied de la bissectrice issue de A, alors A,U,I et Ia sont en division harmonique.
Premier indice et demi: Les projections sur une droite de points qui forment une division harmonique forment une division harmonique
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Bonjour,
Il me semble qu'il y a une infinité de solution ! Avec la judicieuse remarque que tu as faite, on voit que, si l'on appelle Xu le projeté orthogonal de U sur AX, (A,X,Xu,Xa) forment une division harmonique. Par conséquent, la position de Xu est ainsi déterminée. U se trouve donc sur la droite passant par Xu et perpendiculaire à AX.
Mais dès lors, je pense que l'on peut choisir un point U quelconque sur cette droite, tracer AU, puis le cercle dont le centre est à l'intersection de la perpendiculaire à AX passant par X et de AU, et qui passe par X, et enfin, le cercle dont le centre est à l'intersection de la perpendiculaire à AX passant par Xa et de AU, et qui passe par Xa.
La deuxième tangente issue de A au premier de ces cercles est nécessairement tangente au deuxième cercle. Et, si le point U est extérieur aux deux cercles, le point U est situé sur les deux autres tangentes communes à ces deux cercles : l'une quelconque de ces tangentes peut jouer le rôle du troisième côté BC de ABC.
Si je ne me trompe pas donc, comme la construction dépend de U qui est quelconque sur la perpendiculaire à AX passant par Xu, il y a donc une infinité de triangles ABC répondant à la question. En fait U n'est pas tout à fait quelconque, car il faut que les deux cercles ainsi construits aient bien quatre tangentes communes : deux à l'extérieur et deux à l'intérieur. Donc il ne faut pas dépasser une certaine limite pour U car à partir d'une certaine distance, les cercles seraient sécants.
Sauf erreur !