Triangle partagé en 9 parties

[Imod]

J'aime beaucoup ces petits problèmes qui font penser aux sangakus , les japonnais préfèrent les cercles aux triangles mais l'idée est la même .

Imod

[chan79]

aire de BIC/aire ABC = f(p,q)= p*q/(p+q-p*q).

Bravo pour ta fonction f . Dans le cas ci-dessous, elle permet d'exprimer l'aire du triangle jaune par rapport à l'aire de ABC. (16/105)
[img][IMG]http://img208.imageshack.us/img208/3200/21173144.png[/img]

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Peut-être qu'en cherchant à quelle condition l'aire du triangle central est nulle, on retomberait sur le théorème de Ceva ... ?
A noter que geogebra, qui affiche automatiquement l'aire des polygones créés, permet de vérifier facilement les calculs. Mais d'autres logiciels doivent le faire aussi.

[hammana]

Bravo pour ta fonction f . Dans le cas ci-dessous, elle permet d'exprimer l'aire du triangle jaune par rapport à l'aire de ABC. (16/105)
[img][IMG]http://img208.imageshack.us/img208/3200/21173144.png[/img]

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Peut-être qu'en cherchant à quelle condition l'aire du triangle central est nulle, on retomberait sur le théorème de Ceva ... ?
A noter que geogebra, qui affiche automatiquement l'aire des polygones créés, permet de vérifier facilement les calculs. Mais d'autres logiciels doivent le faire aussi.

Bonsoir Chan,

Effectivement, soit un triangle ABC, et M, N, P des points de BC, CA, AB tels que :
p=BM/BC, q=CN/CA, r=AP/AB
Si l'aire du triangle central est nulle, les trois droites sont concourantes en un point I, la somme des aires de AIB, BIC, CIA est égale à celle du triangle ABC, ce qui s'exprime par

f(p,q,r)=p*(1-q)/(1-q*(1-p))+q*(1-r)/(1-r*(1-q))+r*(1-q)/(1-p*(1-r))=1

Lee théorème de Ceva s'eprime par une relation beaucoup plus simple:
p*q*r/((1-p)*(1-q)*(1-r))=1

J'ai vérifié numériquement que les deux relations sont équivalentes. Mais transformer la première expression pour aboutir à la seconde semble fort difficile.

Il est à noter ques les valeurs de p,q,r pour lesquelles les droites sont concourantes correspondent au maximum de la fonction f(p,q,r).

Peut-être avons nous épuisé le sujet.

[godzylla]

belle question c'est presque un théoreme.