Triangle partagé en 9 parties

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chan79
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Triangle partagé en 9 parties

par chan79 » 17 Nov 2012, 18:19

Le triangle ABC est quelconque d'aire S.
Deux côtés sont partagés en trois segmentrs égaux.
R est l'aire de HIJK
Calculer le rapport R/S
[img][IMG]http://img717.imageshack.us/img717/282/az3o.png[/img]

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LeJeu
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par LeJeu » 18 Nov 2012, 01:30

chan79 a écrit:Le triangle ABC est quelconque d'aire S.
Deux côtés sont partagés en trois segmentrs égaux.
R est l'aire de HIJK
Calculer le rapport R/S

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On coupe en trois dans un sens
en trois dans l'autre sens

ben quoi on coupe en neuf :-)

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chan79
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par chan79 » 18 Nov 2012, 10:23

LeJeu a écrit:On coupe en trois dans un sens
en trois dans l'autre sens

ben quoi on coupe en neuf :-)

Salut
oui, mais le résultat n'est pas 1/9

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 18 Nov 2012, 17:10

Bonjour,
Je pense qu'il faut utiliser les propriétés des quadrilatères complets.
IJKH est un quadrilatère complet, il faudrait utiliser les relations entre les différents segments (division harmonique).

beagle
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par beagle » 18 Nov 2012, 19:30

effectivement, il faut facteur 3 pour un coté et facteur 4 pour l'autre coté,
donc 1/3x4= 1/12
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

LeJeu
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par LeJeu » 18 Nov 2012, 21:50

chan79 a écrit:Salut
oui, mais le résultat n'est pas 1/9


J'avoue ... c'était un peu fait la hache .... mais c'était joli, mais faux..
je voudrais pas faire girouette mais je pencherais maintenant sur un rapport de 70/9 (blank)

est-ce que ma série de réponses va converger ? :-)
A suivre

@Archytas, et c'est pas parce que j'ai beaucoup de 7 que ça converge.....

hammana
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par hammana » 19 Nov 2012, 00:22

LeJeu a écrit:J'avoue ... c'était un peu fait la hache .... mais c'était joli, mais faux..
je voudrais pas faire girouette mais je pencherais maintenant sur un rapport de 70/9 (blank)

est-ce que ma série de réponses va converger ? :-)
A suivre

@Archytas, et c'est pas parce que j'ai beaucoup de 7 que ça converge.....


Je trouve aussi que le rapport S/R n'utilise qu'un seul chiffre. Ma méthode est un peu laborieuse. Je cherche si l'on peut trouver qque chose de plus élégant.

Archytas
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par Archytas » 19 Nov 2012, 22:39

LeJeu a écrit:@Archytas, et c'est pas parce que j'ai beaucoup de 7 que ça converge.....

Je ne vois pas ton lien, je ne peux donc pas apprécier ta blague que je suppose un brain douteuse :happy3: !

LeJeu
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par LeJeu » 19 Nov 2012, 23:00

Archytas a écrit:Je ne vois pas ton lien, je ne peux donc pas apprécier ta blague que je suppose un brain douteuse :happy3: !


@Archytas, tu vois bien j'espère que je me moque d'abord de moi ! du côté loterie de mes propositions non argumentées..
Sinon si tu cherches bien dans la page il y a quand même en caché ma proposition ( tu sélectionnes devant blank - l'inverse vidéo dilue l'encre sympathique)

et je te faisais un clin d'oeil car je venais de lire ( avec intérêts) les post sur les convergences ( 0.9999... et racine(9+racine(......))) )

sinon une idée sur le rapport des surfaces des triangles?

Archytas
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par Archytas » 19 Nov 2012, 23:05

LeJeu a écrit:sinon une idée sur le rapport des surfaces des triangles?

Je m'y oencherais bien si je n'avais pas un ds pour bientôt et trois tonnes de devoirs :(... Je verrais en fin de soirée si je peux gratter quelques recherches sur ce sujet mais j'en doute ^^ !

Imod
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par Imod » 20 Nov 2012, 20:20

Bonsoir :we:

Je trouve aussi , il suffit de tracer les parallèles (EF) et (GD) et d'observer les différents triangles semblables ( les calculs sont faciles si on prend 630 pour l'aire du grand triangle ) .

Imod

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chan79
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par chan79 » 20 Nov 2012, 22:15

Imod a écrit:Bonsoir :we:

Je trouve aussi , il suffit de tracer les parallèles (EF) et (GD) et d'observer les différents triangles semblables ( les calculs sont faciles si on prend 630 pour l'aire du grand triangle ) .

Imod

C'est bien ça :++:
Si on partage le 3° côté en trois, on peut calculer ( si on a un peu de temps et rien de plus important à faire ...) pour chaque zone le rapport de son aire par rapport à celle de ABC.
Les zones de même couleur ont la même aire
Les rapports ne dépendent pas de la forme du triangle ABC.
On retrouve 9/70 (7/70+1/70+1/70)
[img][IMG]http://img405.imageshack.us/img405/7746/82422190.png[/img]

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hammana
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par hammana » 21 Nov 2012, 22:25

Imod a écrit:Bonsoir :we:

Je trouve aussi , il suffit de tracer les parallèles (EF) et (GD) et d'observer les différents triangles semblables ( les calculs sont faciles si on prend 630 pour l'aire du grand triangle ) .

Imod


On peut aller un peu plus loin en calculant le rapport de l'aire du triangle ABC à l'aire du quadrilatère HIJK en supposant CE=ED=DB=CB/3 et CF=GA=CA/5 (voir figure)



http://imageshack.us/photo/my-images/17/99132265.jpg/

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chan79
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par chan79 » 22 Nov 2012, 00:26

hammana a écrit:On peut aller un peu plus loin en calculant le rapport de l'aire du triangle ABC à l'aire du quadrilatère HIJK en supposant CE=ED=DB=CB/3 et CF=GA=CA/5 (voir figure)



http://imageshack.us/photo/my-images/17/99132265.jpg/

salut
pour compléter encore un peu
si on ajoute les aires de deux figures de même couleur, on obtient le double de l'aire du quadrilatère noir central
[img][IMG]http://img42.imageshack.us/img42/1567/77185179.png[/img]

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LeJeu
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par LeJeu » 22 Nov 2012, 21:33

hammana a écrit:On peut aller un peu plus loin en calculant le rapport de l'aire du triangle ABC à l'aire du quadrilatère HIJK en supposant CE=ED=DB=CB/3 et CF=GA=CA/5 (voir figure)


Image


Tout chaud calculé je trouve :

Je vérifie et je vous confirme

LeJeu
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par LeJeu » 22 Nov 2012, 21:56

LeJeu a écrit:Tout chaud calculé je trouve :

Je vérifie et je vous confirme

Ca à l'air d être bon ( j'ai fait un dessin sous geogebra je touve un rapport de 0,2248 qui est bien 225/1001

en fait j'ai fait le calcul non pas pour ( 1/3, 1/5) mais pour (1/3,1/p) je trouve sur le triangle [BGF]en retirant les deux morceaux blancs :

Image

ce qui donne pour p = 3:



( ce que donne les chiffres du dessin de Chan ( 5/70 +1/70 = 3/35 et 1/70 +11/105 = 5/42)

Tant qu'a faire autant attaquer ( 1/q, 1/p) : je ne vois pas trop comment les calculs vont donner quelque chose de symétrique en p et q ....

[edit] J'oubliais pour p= 1/2 on a bien 0 , et pour p->inf on converge vers 1/3

hammana
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par hammana » 22 Nov 2012, 22:22

LeJeu a écrit:Tout chaud calculé je trouve :

Je vérifie et je vous confirme


Le résultat est correct. Je suis intéressé (je pense que c'est le cas de tous les membres du forum) à savoir par quelle méthode chacun aborde ce genre de problème.
(Tu peux me tutoyer)

Je propose maintenant d'attaquer le cas 1/p, 1/q, p et q étant différents.

LeJeu
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par LeJeu » 22 Nov 2012, 22:47

hammana a écrit:Le résultat est correct. Je suis intéressé (je pense que c'est le cas de tous les membres du forum) à savoir par quelle méthode chacun aborde ce genre de problème.
(Tu peux me tutoyer)


Salut Hammana,

J'avais pris des notes pour le cas (1/3,1/3) que je te joins donc

le cas général me semblait un peu compliqué
Image

Alors j'ai bougé le sommet du triangle pour qu'une coupure soit verticale
Image

le triangle rouge OHF est facile à calculer:
hauteur =1
base = 6/7 de 1/3 de la hauteur

on calcule de même le triangle OKG

et par différence le quadrilatère FHKG


Puis on incline un peu plus
Image

et on calcul de même OIB puis OJB pour déduire BIJ !

et on termine par surface = 1/3 - FHKG - BIJ

ensuite pour 1/p il faut refaire pareil en un peu plus lourd ( quoique) à écrire

Ps - Je veux bien ta soluce
ps - aurais tu pensé que je te balançais un truc trouvé ailleurs ???

[EDIT] bien sûr ce n'est pas des surfaces, mais des rapports de surface que l'on calcule sur chaque triangle, ce qui fait que l'on choisit taille et forme rendant le calcul plus simple

@chan : je veux bien que tu me montres que la forme du triangle est non signifiante, je le vois bien, mais je ne saurais le prouver : c'est un truc comme l'autre topic "quadrilatère coupé en 9 " ?

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chan79
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par chan79 » 23 Nov 2012, 00:19

LeJeu a écrit:@chan : je veux bien que tu me montres que la forme du triangle est non signifiante, je le vois bien, mais je ne saurais le prouver : c'est un truc comme l'autre topic "quadrilatère coupé en 9 " ?

Salut LeJeu
Le principe est d'écrire les différents points comme barycentres de A, B et C et de raisonner sur des triangles semblables ... c'est un peu long et fastidieux .... j'en ai rédigé une partie (fichier word)
Sinon, si on partage [AB] en n segments égaux et [AC] en m (avec m et n impairs), pour le rapport de l'aire du quadrilatère central par rapport à l'aire de ABC, j'arrive à cette horreur (que je simplifierai peut-être plus tard, si c'est possible)
rapport =
logiquement, ça ne change pas si on permute m et n
Ci-dessous avec n=13 et m=5
[/IMG]Image

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j'espérais une belle simplification, ce n'est pas le cas mais au moins on voit qu'on peut permuter m et n sans changer le résultat

rapport =

hammana
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par hammana » 23 Nov 2012, 14:42

chan79 a écrit:Salut LeJeu
Le principe est d'écrire les différents points comme barycentres de A, B et C et de raisonner sur des triangles semblables ... c'est un peu long et fastidieux .... j'en ai rédigé une partie (fichier word)
Sinon, si on partage [AB] en n segments égaux et [AC] en m (avec m et n impairs), pour le rapport de l'aire du quadrilatère central par rapport à l'aire de ABC, j'arrive à cette horreur (que je simplifierai peut-être plus tard, si c'est possible)
rapport =
logiquement, ça ne change pas si on permute m et n
Ci-dessous avec n=13 et m=5
[/IMG]Image

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j'espérais une belle simplification, ce n'est pas le cas mais au moins on voit qu'on peut permuter m et n sans changer le résultat

rapport =


J'aborde le problème dans son cas général comme suit:
(La notation AB, BI... signifie vecteur AB, vecteur BI...)
Soit un triangle ABC. M un point de AB, N un point de AC, I intersection de BN et CN
je pose p=BM/BA, q=CN/CA
Je calcule IB=(p/(p+q-p*q))*(AB-(1-q)*AC)
IC=(q/(p+q-p*q)*(AC-(1-p)*AB)
(Je donnerai le détail du calcul si quelu'un le désire)
Le produit vectoriel IB^IC me donne le rapport:
aire de BIC/aire ABC = f(p,q)= p*q/(p+q-p*q).
Avec cette formule de base je peux traiter différents cas. Par exemple:
Soit M1 un autre point de AB tel que p1=BM1/BA
N1 un autre point de AC tel que q1=CN1/CA.
(Je peux toujours supposer p<p1 et q<q1 sinon j'inverse les rôles)
L'aire du quadrilatère central est égale à f(p1,q1)+f(p,q)-f(p,q1)-f(p1,q).
Cette approche convient très bien au traitement informatique du problème. Le programme suivant permet de calculer l'aire du quadrilatère correspnndant à p=1/3, q=1/5, p1=2/3, q1=4/5


Code: Tout sélectionner
global r
p=1/3:q=1/5:p1=2/3:q1=4/5

call rapport p,q,p1,q1
print r

sub rapport p,q,p1,q1
r=aire(p1,q1)+aire(p,q)-aire(p,q1)-aire(p1,q)
end sub

function aire(p,q)
    aire=p*q/(p+q-p*q)
end function

 

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