Toujours des inégalités......

[new007]

a et b et c et d des réels vérifiant : a ;) -1 et b ;) -1 et c ;) -1 et d ;) -1 et a + b+c+d = 2.
Montrez que : a^3+b^3+c^3+d^3 ;) 0.5 .merci à vous. et je m'excuse

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, il suffit d'étudier le min de x^3+y^3 pour x+y=s fixé (avec x,y>=-1/2 et donc s>=-1)
Tu trouve que le min est obtenu pour x=y si s>0 et pour x ou y = -1/2 si s<0.
On conclue aisément avec ça.

[Olympus]

Salut !

L'idéal est de se ramener à une inégalité avec des variables positives

En posant , l'inégalité à prouver devient :



sous la condition : avec des réels positifs .

Après homogénéisation, cette inégalité est équivalente à :



Mais il suffit de remarquer que par AM-GM : .

En sommant cycliquement, on a l'inégalité désirée .

:happy3:

[Ben314]

Je trouve quand même qu'il est nettement plus rapide de simplement dériver x^3+(s-x)^3...

[Olympus]

Salut Ben !

Ouais bon, dans ma méthode presque tout est totalement naturel ( ie rien de parachuté ) sauf peut-être le choix des coefficients pour AM-GM à la fin . Et y a rien de calculatoire ( pas de factos etc... rien ) à part le développement de et ses copains, donc je ne crois pas que ce soit aussi long que ça ^^ ( ou alors, peut-être que c'est moi qui est habitué à l'homogénéisation+bourrinage :zen: )

[vincentroumezy]

J'ai l'impression qu'AM GM est totalement incontournable

[darkpseudo]

J'ai trouvé une preuve qui m'as parus tellement facile que je suis sûr qu'elle est fausse :
donc ma demande est ou est la faut :p :
bon voila la preuve :
par réordonnement on a :
9(a^3+b^3+c^3+d^3)>=3(a^2b+b^2c+c^2a+c^2b+a^2d+a^2c+b^2a+b^2a+b^2d+c^2d+d^2a+d^2b+d^2c+ a^2c+a^2d)
on a aussi :
6 (a^3+b^3+c^3+d^3) >= 6 ( abc+abd+cbd+adc)

en sommant et en ajoutant a^3+b^3+c^3 +d^3 on obtien
a^3+b^3+c^3+d^3 >= ( a+b+c+d)^3/16 = 8/16 / 0.5

J'espère qu'on me corrigera gentillement :)

[Olympus]

Salut darkpseudo !

Euh regarde bien les ordres que t'as imposé aux suites sur lesquelles tu as appliqué l'inégalité du réordonnement et tu trouveras toi-même l'erreur ;)

[Ben314]

Juste pour comparer la quantité de calculs :
Pour x+y=s fixé avec x,y>=-a c'est à dire -a=0, ici a=1/2) la fonction f(x)=x^3+y^3=x^3+(s-x)^3 a pour dérivée f'(x) = 3x^2-3(s-x)^2 = 3s(s-2x) qui change de signe pour x=s/2.
Le min de la fonction est donc atteint au bord de l'intervalle (x ou y=-a) lorsque s=<0 et il est atteint pour x=y(=s/2) lorsque s>=0.
Pour x1+...+xn=S (avec S>=na fixé) le min de x1^3+...+xn^3 est donc atteint lorsque certaines des variables valent -a et les autres sont toutes égales à un certain réel x qui est évidement >=a (vu que S>=na). Mais, s'il existe deux variables valant respectivement x et -a alors leur somme est s=x-a>=0 et on peut diminuer la somme des xi^3 en les remplaçant toutes les deux par s/2.
Le minimum est donc atteint lorsque les variables sont toutes égales.

Remarque : cette preuve a le gros avantage de voir que
1) Le nombre de variables et la valeur de S n'ont aucune importance pourvu que S>=na (ici, comme par hasard, S=2, n=4, a=1/2...).
2) On n'a pas besoin de connaitre le minimum de la fonction : on le trouve comme résultat.

Bon, aprés, chacun fait comme il veut : on peut parfaitement utiliser un buldozzer pour écraser des mouches... :zen:

[darkpseudo]

Salut darkpseudo !

Euh regarde bien les ordres que t'as imposé aux suites sur lesquelles tu as appliqué l'inégalité du réordonnement et tu trouveras toi-même l'erreur

Je n'est pas bien saisi ? a^3+b^3+c^3+d^3 est la suite maximum quelque soit l'ordre imposé , enfin je pense ...

[Olympus]

Tu as appliqué le réordonnement à et . Sauf que... sont-elles forcément rangées dans le même ordre ? Si c'est des variables positives, oki, mais là on a affaire à des réels qui peuvent aussi être négatifs .

[Olympus]

Bon, aprés, chacun fait comme il veut : on peut parfaitement utiliser un buldozzer pour écraser des mouches... :zen:

Ouin, tu sous-entends que ma méthode est trop bourrin

[darkpseudo]

Haaa oép même pas remarqué l'énoncé dsl :mur: .
Sinon pourquoi pas faire un petit topic de jeu d'olympiades ?? ( enfin c'est une proposition )

[Olympus]

Tu veux dire une sorte de marathon comme sur mathsmaroc ? Pas sûr que ça marche ici, et perso je ne promets rien car comme d'habitude, je ne réponds que si ça me chante et j'aime pas trop m'impliquer :zen:

PS : t'as cité le mauvais message :ptdr:

[darkpseudo]

Oui t'as raison pour le message ( double :mur: )
Pour le jeux disons que ça sera un marathon mais pas comme mathsmaroc , c'est désorganisé chez eux , bref à vous de voir , moi j'ai mes exams là et je compte pas trop me connecter donc à vous de choisir ce que vous voulez faire .

Sinon une petite pour la route :)
soit a et b deux réels positifs et m un entier montrez que :
(1+a/b)^m+(1+b/a)^m >= 2^(m+1)

[Ben314]

Si et alors donc

Donc le minimum de la fonction est atteint pour

[Olympus]

Euh, je crois avoir déjà vu celle-là ici sous une forme non-homogénéisée ...

Sinon, c'est facile par récurrence :

Pour m=0 c'est archi-évident . Pour m=1 : .

On suppose que l'inégalité est vraie pour un certain fixé .

Il est clair que




D'où le résultat .

[younesmath2012]

a et b et c et d des réels vérifiant : a -1 et b -1 et c -1 et d -1 et a + b+c+d = 2.
Montrez que : a^3+b^3+c^3+d^3 0.5 .merci à vous. et je m'excuse

il suffit de voir que pour tout x;) -1 on a 4x^3 3x-1 {la difference nous donne(x+1)(2x-1)²;) 0}
donc on sommant on trouve 4(a^3+b^3+c^3+d^3) 3(a+b+c+d)-4=3×2-4=2
finalement a^3+b^3+c^3+d^3 2/4=1/2=0.5 :marteau: