[MP] Topologie.

[Judoboy]

Je propose l'exercice suivant:

1) Quels sont les polynomes P tels que K=disque unite
2) Quels sont les polynomes P tels que K=[-1,1]

Je dirais :
1) Les polynômes a*X^n où a<=1, je pense pas qu'il y en ait d'autres parce que s'il y a des racines non nulles K va contenir des éléments hors du disque (à moins que l'ordre de multiplicité des racines te permette de faire des ensembles autour d'une racine donnée plus petits)


2) J'ai envie de dire au pif (X+1/2)(X-1/2) et des trucs du genre mais je vois pas trop comment le justifier.

[ffpower]

C'est presque ca pour le 1) (mais ca marche pas si a=0 par exemple), meme si j'attend une justification un peu plus claire^^
Ton exemple pour 2) marche pas par contre.

[Nightmare]

Hello,

j'ai pareil que Judoboy pour 1) mais je ne vois pas comment montrer que la condition est nécessaire.

Pour 2) j'ai rien du tout par contre. Je me demande même si c'est possible d'avoir un tel K. (Qu'on s'entende bien, K=[-1;1]x{0} ?)

[ffpower]

Oui c'est bien , et il existe bien des P correspondant (une famille assez usuelle de polynomes que l'on voit generalement en prepa..)

Les 2 ensembles que j'ai donne sont je crois, a transfo elementaire pres, les 2 seuls ensembles de Julia "gentils" qui existent. Les autres ensembles de Julia ressemblent plutot a des fractales.

[Nightmare]

Ca y est, j'ai enfin mis le doigt sur ce qu'il faut pour conclure, je l'ai dit en plus : Les ensembles de Julia sont fixés par P.

Pour 1) P fixe le disque unité, c'est classique de montrer qu'alors il est de la forme P=aX^n

2) P fixe le segment [-1;1]x{0} et ce sont les polynômes de Tchebychev.

[ffpower]

Ouais c est ca (au signe pres pour le 2)

Par contre pour 2) faut utiliser que K est totalement invariant (ie x appartient a K ssi P(x) appartient a K), parce que des polynomes tels qu on ait juste P([-1,1])=[-1,1], y en a beaucoup^^