Pi/2=1

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jlb
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pi/2=1

par jlb » 09 Juin 2013, 10:31

Bonjour,
étape1: je trace un demi cercle de diamètre une unité: longueur1=pi/2

étape2: je coupe le diamètre en son milieu et je trace deux demi cercles de diamètre 0,5: longeur2=2*pi/4=pi/2

étape3: je coupe le diamètre en 4 parts égales et je trace 4 demi cercles de diamètre 0,25: longueur3=4*pi/8=pi/2

et ainsi de suite..

au final, la longueur du diamètre vaut donc pi/2.

Qui peut m'expliquer ce qui ne va pas? merci



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chan79
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par chan79 » 09 Juin 2013, 11:11

jlb a écrit:Bonjour,
étape1: je trace un demi cercle de diamètre une unité: longueur1=pi

étape2: je coupe le diamètre en son milieu et je trace deux demi cercles de diamètre 0,5: longeur2=2*pi/2=pi

étape3: je coupe le diamètre en 4 parts égales et je trace 4 demi cercle de diamètre 0,25: longueur3=4*pi/4=pi

et ainsi de suite..

au final, la longueur du diamètre vaut donc pi.

Qui peut m'expliquer ce qui ne va pas? merci

salut
A chaque fois, c'est pi/2 ou alors il faut mettre rayon au lieu de diamètre.
Sinon, il n'y a pas de contradiction
Quand le nombre de demi-cercles varie, la somme des demi-périmètres reste constante.
En revanche, la somme des aires des demi-disques tend vers 0.

jlb
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par jlb » 09 Juin 2013, 11:16

Oups ( merci Chan), je corrige!!
Intuitivement, pour un nombre d'étapes importantes la courbe obtenue se "plaque" sur le diamètre initial tout en gardant la longueur constante pi/2.
Peux tu m'expliquer pourquoi on n'a pas "longueur de la courbe limite"="limite longueur des courbes"? merci

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par leon1789 » 09 Juin 2013, 12:27

jlb a écrit:Peux tu m'expliquer pourquoi on n'a pas "longueur de la courbe limite"="limite longueur des courbes"?

Pour vous expliquer le problème, à mon avis, il faut avoir en tête quelques notions mathématiques sur les limites de fonctions et de calcul de longueur.
Avez-vous entendez parlé de "convergence simple" et de "convergence uniforme" ?
Connaissez-vous la formule intégrale qui donne la longueur d'une courbe ?

jlb
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par jlb » 09 Juin 2013, 12:56

à priori ma courbe est associée à une fonction continue sur [0,1] et tend uniformément vers la fonction nulle sur [0,1] si je ne me trompe pas??
Le problème doit donc venir des points en lesquels les tangentes sont verticales?
Je serai content si vous pouviez m'expliquer d'où vient l'impossibilité d'échanger les limites.
merci encore de prêter attention à mon message.

[ je viens de parcourir l'article longueur d'un arc sur Wiki pour trouver la formule, la fonction doit être C1, les termes de la suites ne le sont pas mais comment montrer que leur limite ne l'est pas (sans utiliser le fait que pi/2 est différent de 1)]

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leon1789
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 13:19

jlb a écrit:à priori ma courbe est associée à une fonction continue par morceaux et tend uniformément vers la fonction nulle sur [0,1] si je ne me trompe pas??

Exacte, les fonctions continues (dérivables par morceaux) tendent uniformément vers la fonction nulle.

Un théorème dit :
puisque la suite converge uniformément sur [0,1], alors .

Mais en parlant de , on parle de surface... Or le problème porte sur la longueur...

Il faut savoir que la longueur d'une courbe ne dépend pas tout à fait de la fonction, mais plus directement de sa dérivée ! une formule du genre

Pour appliquer le théorème ci-dessus avec des longueurs de courbes, il faut justifier d'une convergence uniforme, non pas de la suite , mais de la suite , ou plus simplement .

A-t-on cette convergence uniforme de ?

jlb
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par jlb » 09 Juin 2013, 13:23

J'ai complété dans le message précédent pendant que vous me répondiez. Peut-on dire que les fonctions sont-elles dérivables par morceaux?
Je dois partir tout l'après midi, je reprendrai ce soir si vous le pouvez, merci encore.

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par leon1789 » 09 Juin 2013, 13:26

jlb a écrit:Peut-on dire que les fonctions sont-elles dérivables par morceaux?

Ce n'est pas ce que j'ai écrit ?

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chan79
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par chan79 » 09 Juin 2013, 13:40

Un autre exemple:
la ligne brisée du haut mesure 8*4=32
la suivante: 16*2=32
la suivante: 32*1=32

On peut continuer avec des lignes toujours de longueur 32
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par chan79 » 09 Juin 2013, 13:58

leon1789 a écrit:Ce n'est pas ce que j'ai écrit ?

Un cas analogue
Les quatre lignes brisées mesurent toujours 32
Celle du bas correspond à la dixième étape
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 14:09

il existe aussi une variante avec des triangles rectangles isocèles dont on rabat la moitié supérieure à chaque étape. On obtient

A chaque fois, c'est évidemment un problème de convergence des dérivées...

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par jlb » 09 Juin 2013, 16:52

leon1789 a écrit:Ce n'est pas ce que j'ai écrit ?


Si, et j'ai un doute. Autant pour l'exemple de Chan, les fonctions ( en supprimant les verticales) me semblent C1 par morceaux, autant pour mon exemple, je ne pense pas qu'elles soient dérivables par morceaux ( il y a biendes tangentes verticales aux points d'intersection avec l'axe de abscisses?). Pouvez-vous me le confirmer?

Sinon, je ne vois pas comment expliquer que la limite de la suite des dérivées ne peut être échangée (outre le fait que pi/2 est différent de 1)avec l'intégrale, une piste? Nier la convergence uniforme, est-ce suffisant?

merci en tout cas pour tout.

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par leon1789 » 09 Juin 2013, 17:13

jlb a écrit:Si, et j'ai un doute. Autant pour l'exemple de Chan, les fonctions ( en supprimant les verticales) me semblent C1 par morceaux, autant pour mon exemple, je ne pense pas qu'elles soient dérivables par morceaux ( il y a bien des tangentes verticales aux points d'intersection avec l'axe de abscisses?). Pouvez-vous me le confirmer?

Des arcs de cercles sont dérivables partout, sauf au niveau des tangentes verticales : elles sont donc dérivables par morceaux, exactement comme l'exemple de Chan.

jlb a écrit:Sinon, je ne vois pas comment expliquer que la limite de la suite des dérivées ne peut être échangée (outre le fait que pi/2 est différent de 1)avec l'intégrale, une piste? Nier la convergence uniforme, est-ce suffisant?

Dans quel cas peut-on échanger limite et intégrale ? Par exemple quand il y a convergence uniforme. Est-ce le cas dans votre exemple (on parle de longueur, donc des fonctions dérivées, c'est là le "piège" de l'énoncé) : non car les fonctions dérivées ne sont pas bornées. Donc un raisonnement immédiat comme dans votre énoncé initial est incorrect. Pas étonnant alors que le résultat 1=pi/2 soit aberrant.

Comment expliquer que la limite et l'intégrale ne peuvent être échangées ? Ben justement parce que 1 n'est pas égale à pi/2 !

Cet exemple montre qu'il ne faut pas confondre longueur et surface. Personne ne s'étonne que deux figures de surfaces très proches (voire égales) aient des périmètres très différents. Prendre un cercle de diamètre 1, un rectangle de longueur Pi et de largeur 2, etc. Dans votre énoncé, certes c'est plus compliqué "visuellement" car il y a une convergence uniforme sous nos yeux, qui nous pousse justement à confondre longueur et surface.

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leon1789
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 17:24

jlb a écrit:Si, et j'ai un doute. Autant pour l'exemple de Chan, les fonctions ( en supprimant les verticales) me semblent C1 par morceaux, autant pour mon exemple, je ne pense pas qu'elles soient dérivables par morceaux ( il y a bien des tangentes verticales aux points d'intersection avec l'axe de abscisses?). Pouvez-vous me le confirmer?

Des arcs de cercles sont dérivables partout, sauf au niveau des tangentes verticales : elles sont donc dérivables par morceaux, exactement comme l'exemple de Chan.

jlb a écrit:Sinon, je ne vois pas comment expliquer que la limite de la suite des dérivées ne peut être échangée (outre le fait que pi/2 est différent de 1)avec l'intégrale, une piste? Nier la convergence uniforme, est-ce suffisant?

Dans quel cas peut-on échanger limite et intégrale ? Par exemple quand il y a convergence uniforme. Est-ce le cas dans votre exemple (on parle de longueur, donc des fonctions dérivées, c'est là le "piège" de l'énoncé) : non car les fonctions dérivées ne sont pas bornées. Donc un raisonnement immédiat comme dans votre énoncé initial est incorrect. Pas étonnant alors que le résultat 1=pi/2 soit aberrant.

Comment expliquer que la limite et l'intégrale ne peuvent être échangées ? Ben justement parce que 1 n'est pas égale à pi/2 !

Cet exemple montre qu'il ne faut pas confondre longueur et surface. Personne ne s'étonne que deux figures de surfaces très proches (voire égales) aient des périmètres très différents. Prendre un cercle de diamètre 1, un rectangle de longueur Pi et de largeur 2, etc. Dans votre énoncé, certes c'est plus compliqué "visuellement" car il y a une convergence uniforme sous nos yeux, qui nous pousse justement à confondre longueur et surface.

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par fma » 09 Juin 2013, 17:45

Réponse ici peut-être :
"La conclusion est basée sur une fausse interprétation de la "limite" "

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/paradoxe/textes/cercle.htm

Un site en tout cas à conseiller ; son auteur est très sympa (échange une fois) et plein de flashs

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leon1789
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 18:09

fma a écrit:Réponse ici peut-être :
"La conclusion est basée sur une fausse interprétation de la "limite" "

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/paradoxe/textes/cercle.htm

Un site en tout cas à conseiller ; son auteur est très sympa (échange une fois) et plein de flashs

Ok, il y a un rappel de la définition de la limite d'une suite de réels et il est rappelé qu'une suite constante ne peut pas tendre vers une constante différente (on s'en doutait !).

En fait, il n'y a aucune explication du problème sur cette page web : en effet, la faille du raisonnement vient d'une "mauvaise interprétation" de la convergence uniforme d'une suite de fonctions (notion totalement absente de la page web).

jlb
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par jlb » 09 Juin 2013, 18:20

j'ai besoin d'un rappel, c'est quoi la définition d'une fonction dérivable par morceaux? je suis un peu perdu, là.

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leon1789
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 18:24

jlb a écrit:j'ai besoin d'un rappel, c'est quoi la définition d'une fonction dérivable par morceaux? je suis un peu perdu, là.

Une fonction f est continue par morceaux sur le segment s’il existe une subdivision telle que la restriction de f à chaque intervalle ouvert soit dérivable.

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leon1789
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 18:30

fma a écrit:Réponse ici peut-être :
"La conclusion est basée sur une fausse interprétation de la "limite" "

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/paradoxe/textes/cercle.htm

Un site en tout cas à conseiller ; son auteur est très sympa (échange une fois) et plein de flashs

Le site a effectivement un visuel très sympa.

En ce qui concerne une tentative d'explication du problème, il y a un rappel de la définition de la limite d'une suite de réels et il est rappelé qu'une suite constante ne peut pas tendre vers une constante différente (on s'en doutait !).

Mais en fait, il n'y a aucune explication du problème sur cette page web : en effet, la faille du raisonnement vient d'une mauvaise utilisation de la convergence uniforme d'une suite de fonctions (notion totalement absente de la page web) sur le calcul de longueur.

fma
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par fma » 09 Juin 2013, 18:42

Merci pour la mise au point.
La somme des demi-cercles tend vers l'infini quand les rayons tendent vers 0. Cela ne pose pas problème ?

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