bon je commence , je termine pas cette nuit le désavantage de ma demo est qu'elle est longue (en plus d'être particulièrement moche)
je terminerai demain normalement
( ...pour ce qui est des points a) et b) ils sont inutiles mais vus qu'ils sont courts je les place, c'est pas ça qui va rallonger )
EnoncéOn se place dans ZC
Etant donné E un ensemble quelconque, il existe une application
vérifiant la propriété suivante:
,
,
,
,
=u_n)
en notant
la suite
Démonstration a)Cas de l'ensemble vide
Dans ce cas il n'existe pas d'application de
vers E
effectivement il n'existe pas d'application d'un ensemble non vide vers un ensemble vide
par conséquent
Or par contre il existe une application d'un ensemble vide vers un ensemble vide
et donc il existe une application
, cette application est unique et son graphe est
b)Cas de l'ensemble singleton
il n'existe qu'une seule et unique suite
et en fait on vérifie
=e)
c)Cas de l'ensemble non vide et non singleton
,
Par l'axiome du Choix, le théorême de Zermelo affirme qu'il est possible de munir E d'une relation de bon ordre, celle-ci sera notée
(à ne pas confondre avec celle habituelle dans
qui elle par contre n'est pas de bon ordre ni d'ailleurs à confondre avec celle de
mais comme je dois utiliser encore une autre relation d'ordre les notations sont limitées de fait on se dira que si on parle de E celle ci correspond à cette relation d'ordre là (de bon ordre)
On muni
d'une relation d'équivalence que l'on note
selon
,
alors
si et seulement si
tel que
on vérifie
On considère l'ensemble quotient par cette relation d'équivalence que l'on note
qui définit une partition de
selon les classes d'équivalences et on note
_{i\in I})
la famille qui représente cette partition selon
(
,
) ET (
,
,
)
on vérifie donc
et
On muni
d'une relation d'ordre partielle que l'on note
telle que:
deux éléments x et y quelconques de
sont comparables par cette relation d'ordre
si et seulement si ils appartiennent à la même classe d'équivalence de
de sorte que
,
,(x
y OU y
x)
(
,
,
)
Cette relation d'ordre
telle que par cette relation d'ordre,chaque classe d'équivalence constitue un ensemble bien ordonné de sorte que
,
,
,
, a est un plus petit élément de
On considère pour chaque élément
la partie que l'on note
telle que
,
alors
,
et telle que
,
alors
,
_____________________
on demontre
et en fait
=Card(E))
On considère pour chaque élément
la partie que l'on note
telle que
,
alors
,
et telle que
,
alors
,
on demontre que
effectivement ici E possède n>1 éléments
on demontre que
effectivement notons
les éléments de E et notons
les éléments de
selon sa construction on obtiens
et tous les autres termes des suites de
sont identiques
_____________________
on a vu precedemment la partie Y_i d'un X_i et on defini
pour tous
et
alors
 \Leftrightarrow (v0\leq w0))
__________________________________________
,
 \Leftrightarrow (v\underset {\rightarrow}{\leq } w))
__________________________________________
et pour tous
et
alors
on recherche
tel que
alors
et
on recherche
tel que
alors
et
avec
n'importe lequel dans Y_i (évident)
n et m existent obligatoirement (évident)
alors lorsque m<n alors
)
et lorsque m=n alors
 \Leftrightarrow (v_m\leq w_n))
