Tetraèdre

[Ben314]

Salut,
D'aprés le Problème du mois de l'University of Regina :

On fixe 4 réels strictement positifs a,b,c,d.

1) A quelles conditions existe t'il un tétraèdre dont les 4 faces aient pour aire a,b,c,d.
2) Est-il unique ?
3) Si non, quel est son volume minimal ? maximal ?
4) Pour quelle forme (de tétraèdre) as-t'on un volume minimal ? maximal ? (toujours pour a,b,c,d fixés)

P.S. J'ai à peu prés les réponses à toutes les questions, mais, pour le moment, c'est un peu calculatoire...

[nodjim]

Réponse spontanée pour 1 (pas comme une manif chinoise):
Il faut au moins que le plus grand des 4 nombres soit inférieur à la somme des 3 autres.

[Ben314]

Réponse spontanée pour 1 (pas comme une manif chinoise):
Il faut au moins que le plus grand des 4 nombres soit inférieur à la somme des 3 autres.

C'est effectivement nécessaire... et en fait suffisant...

La suite ?

[nodjim]

Oui, c'est suffisant.
Pour former un tétraèdre dans ces conditions:
On forme un triangle équilatéral avec la plus grande aire. On trace les hauteurs des 3 autres aires, vers l'intérieur du triangle. Si, en faisant coulisser les hauteurs, on peut former un autre triangle où chaque extrémité des hauteurs s'arrête contre une hauteur adjacente, alors on peut former un tétraèdre. Si on ne peut pas dessiner de triangle, alors il faut déformer le triangle équilatéral pour se trouver dans les conditions de former ce triangle. On peut, pour déformer le triangle équilatéral, soit raccourcir un coté et allonger les 2 autres pour obtenir un isocèle, soit conserver une longueur d'un coté et déplacer le sommet opposé parallèlement à ce coté.
On arrive donc tjs à former ce triangle. Si aLes volumes max et min correspondent aux hauteurs max et min qu'on peut obtenir. Je ne sais pas pour l'instant comment obtenir ces hauteurs max et min.

[nodjim]

Sans avoir fait les calculs, je soupçonne que c'est le tétraèdre dont la somme des longueurs des arêtes est la moindre qui a le gros volume. Et vice versa.