Le tétra et le trou de souris

[Patastronch]

ben il parait qu'on peut mieu faire, sauf erreur de calcul (j'ai calculé le diametre du cercle circonscrit au triangle (;;)) avec les milieux ca donne le diametre que j'ai donné.

[Imod]

Après calculs , on arrive bien à la même chose . Si on peut faire mieux c'est que je n'ai rien compris à la trajectoire du tétraèdre .

Imod

[nodgim]

J'ai trouvé une valeur légèrement plus faible.
C'est le minimum de D= rac3*(12a²-2a*(rac3) +7)/(9*rac(2+3a²)).
quand a varie de 0 à rac3/3.
Je n'ai pas cherché la dérivée (pas sûr qu'on arrive à quelque chose d'intéressant) mais par approches successives (c'est très rapide)
J'ai trouvé 0.8956 pour un "a" de 0.2385.

[Imod]

Il faudrait expliquer d'où vient cette fonction rationnelle ! Si on suit tes indications avec le cercle touchant le tétraèdre en un sommet et deux points de deux arêtes on n'aboutit pas à ton résultat :briques:

Imod

[Patastronch]

Bon pour variant de 0 à 1 (position des 2 points sur les arrêtes, avec 0 correspondant au sommet B) je trouve comme diamètre (notons qu'on suppose ici que l'optimal implique la même position pour les 2 points sur les arrêtes):



J'ai un peu la flemme de calculer la dérivée, si quelqu'un a le courage ...

[nodgim]

Si on regarde du ciel le tétra posé à plat sur une face, on voit un triangle équilatéral avec son centre et ses 3 arêtes. "a" est le décalage entre le sommet (donc au centre de la figure) et la droite reliant les 2 autres points du bas, ceux en contact avec le cercle.

(1-a*rac3)/3 est la moité de la distance entre les 2 points du bas.

la longueur réelle entre le sommet et le milieu de la droite entre les 2 points du bas est : rac(2/3+a²).

J'ai alors un "T" dont je connais les dimensions. Je dessine le cercle qui entoure ce "T".
Ensuite je pose l'égalité Pythagore qui fait intervenir R, le rayon du cercle:
R²=((1-a*rac3)/3)² + (rac(2/3+a²)-R)².

Voilà. J'espère que c'est compréhensible.

[Doraki]

Patastronch, le minimum de ton expression est atteint pour a = 0.39126...
et avec ça tu obtiens la même valeur que nodgim.

[Patastronch]

Merci Doraki :)

[Imod]

J'arrive bien , avec un peu de retard , au même résultat . J'ai essayé sans succès de caratériser la solution :cry: Il faudra je pense se contenter de cette valeur approchée , c'est dommage car c'est un joli problème :++:

Imod

[Patastronch]

Par contre rien ne prouve que c'est le diamètre minimum ... juste qu'en usant de cette stratégie de passage c'est minimal tout en imposant que les 2 points sur les arêtes soient à égale distance du sommet.