par Doraki » 03 Nov 2011, 17:30
Si on peut retourner l'aiguille avec des rotations d'angle a, alors on a un entier k tel que ka = pi mod 2pi, donc a doit être un multiple rationnel de pi.
Comme l'a dit ffpower, en prenant des polygônes réguliers à un nombre impair de coté, on montre que tous les angles kpi/n avec k et n premiers entre eux et n qui n'est pas une puissance de 2 conviennent.
Il reste donc à savoir si l'un des angles pi, pi/2, pi/4, pi/8 pi/16 ... convient ou si on ne peut jamais retourner l'aiguille avec ces angles.
Un argument de parité convient :
On met un repère (complexe) avec 0 et 1 sur les extrémités de l'aiguille.
Si n >= 0, et P est un polynôme à coefficient entiers, on colorie le point d'affixe P(e^(ik;)/2^n)) selon P(1) mod 2. (par exemple pour n=1, ça donne un coloriage de "Z²" en échiquier. Pour n>=2, ça devient pas facile à dessiner)
Ce coloriage ne dépend pas de P :
Le polynôme minimal (dans Z) de e^ik;)/(2^n) est X^(2^n)+1.
Modulo 2, X^(2^n)+1 = (X+1)^(2^n).
Si P(e^(ik;)/2^n)) = Q(e^(ik;)/2^n)) alors P-Q est un multiple du polynôme annulateur de e^(ik;)/2^n), qui quand on le reragrde modulo 2, est une puissance de (X+1), donc s'annule en 1, donc (P-Q)(1) = 0 mod 2, donc P(1) = Q(1) mod 2.
Ce coloriage ne dépend pas de n :
Pour tout P,n,m, alors en posant Q(X) = P(X^(2^m)), Q(e^(ik;)/2^(n+m))) = P(e^(ik;)/2^n)), et on a bien Q(1) = P(1^(2^m)) = P(1)
Enfin on vérifie que le piquant et le chas de l'aiguille ne changent jamais de couleur quand on fait tourner l'aiguille d'un angle de pi/2^n :
Si on a un bout de l'aiguille sur P(e^i;)/n), l'autre sur Q(e^i;)/n), et qu'on tourne autour du premier,
on passe de Q(e^i;)/n) à (P+(Q-P)X) (e^i;)/n). Et (P+(Q-P)X)(1) = P(1)+Q(1)-P(1) = Q(1).
Donc on ne peut pas retourner l'aiguille.