Tête à queue

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Imod
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Tête à queue

par Imod » 03 Nov 2011, 01:04

Un petit défi inspiré d'un exercice d'olympiade et pour lequel je n'ai pas de solution :zen:

On pose une aiguille sur une table et on choisit un angle â ( non orienté ) . On fait tourner l'aiguille de l'angle â ( dans le sens que l'on veut ) autour de l'une de ses extrémités et on renouvelle l'opération autant de fois que l'on veut .

Pour quelles valeurs de l'angle â , l'aiguille peut-elle retrouver sa position initiale avec le piquant en lieu et place du chas ?

Amusez-vous bien :we:

Imod



Anonyme

par Anonyme » 03 Nov 2011, 05:13

Bonjour
Ce qui vient immédiatement à l'esprit est :
l'angle â est un angle de mesure avec
donc où est le piège ?

Question :
Est ce que on peut changer le centre de la rotation c'est à dire l'extrémité de l'aiguille entre 2 rotations d'angle â ?

beagle
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par beagle » 03 Nov 2011, 11:44

ah, oui j'avais bien compris alors lorsque j'ai cru ne pas avoir compris,
ce qui fait que j'ai mal compris ensuite lorsque j'ai cru comprendre.
Bref c'était pas le problème demandé.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 03 Nov 2011, 13:53

Bonjour,
Pardon, je n'avais pas bien compris le problème

ffpower
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par ffpower » 03 Nov 2011, 14:23

Pourquoi jamais? Déjà avec un angle de 60 degrés, on peut (en parcourant un triangle équilatéral)
Et plus généralement on peut avec tout angle correspondant à un polygone régulier ayant un nombre impair de coté..

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 03 Nov 2011, 15:04

Pardon, j'avais pas compris que ce n'était pas une rotation mais un déplacement.
Je vais corriger ma réponse.

beagle
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par beagle » 03 Nov 2011, 15:18

Dlzlogic a écrit:Pardon, j'avais pas compris que ce n'était pas une rotation mais un déplacement.
Je vais corriger ma réponse.


c'est bien une rotation,
sauf que cela ne rote pas de la mème extrémité obligatoirement.
Et c'est un bien joli problème, dèjà la soluce de ffpower est esthétique,
j'ai un peu peur de la grosse artillerie que nos pointures pourraient sortir.
Mais c'est déjà bien beau.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 03 Nov 2011, 15:51

Bonjour Beagle,
Oui, c'est vrai, mais dans mon esprit, un rotation est surtout une transformation qui fait correspondre 2 ensembles. J'ai même regardé dans le dictionnaire, rotation sous-entent axe fixe, donc à partir du moment où on a décidé de l'extrémité utilisée comme axe de rotation, si on recommence l'opération, donc la rotation, sauf hypothèse contraire, il s'agit toujours du même axe de rotation.

beagle
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par beagle » 03 Nov 2011, 15:55

Je suis d'accord, Imod a fait exprès de balancer cette phrase ambigue.
"Tourner autour d'une extrémité" a deux sens minimum.
(mais non pas deux sens de rotation, faites le exprès aussi!)
Pourquoi donne-t-on les énoncés de problème en français ?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Doraki
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par Doraki » 03 Nov 2011, 17:30

Si on peut retourner l'aiguille avec des rotations d'angle a, alors on a un entier k tel que ka = pi mod 2pi, donc a doit être un multiple rationnel de pi.
Comme l'a dit ffpower, en prenant des polygônes réguliers à un nombre impair de coté, on montre que tous les angles kpi/n avec k et n premiers entre eux et n qui n'est pas une puissance de 2 conviennent.

Il reste donc à savoir si l'un des angles pi, pi/2, pi/4, pi/8 pi/16 ... convient ou si on ne peut jamais retourner l'aiguille avec ces angles.
Un argument de parité convient :
On met un repère (complexe) avec 0 et 1 sur les extrémités de l'aiguille.
Si n >= 0, et P est un polynôme à coefficient entiers, on colorie le point d'affixe P(e^(ik;)/2^n)) selon P(1) mod 2. (par exemple pour n=1, ça donne un coloriage de "Z²" en échiquier. Pour n>=2, ça devient pas facile à dessiner)

Ce coloriage ne dépend pas de P :
Le polynôme minimal (dans Z) de e^ik;)/(2^n) est X^(2^n)+1.
Modulo 2, X^(2^n)+1 = (X+1)^(2^n).
Si P(e^(ik;)/2^n)) = Q(e^(ik;)/2^n)) alors P-Q est un multiple du polynôme annulateur de e^(ik;)/2^n), qui quand on le reragrde modulo 2, est une puissance de (X+1), donc s'annule en 1, donc (P-Q)(1) = 0 mod 2, donc P(1) = Q(1) mod 2.

Ce coloriage ne dépend pas de n :
Pour tout P,n,m, alors en posant Q(X) = P(X^(2^m)), Q(e^(ik;)/2^(n+m))) = P(e^(ik;)/2^n)), et on a bien Q(1) = P(1^(2^m)) = P(1)

Enfin on vérifie que le piquant et le chas de l'aiguille ne changent jamais de couleur quand on fait tourner l'aiguille d'un angle de pi/2^n :
Si on a un bout de l'aiguille sur P(e^i;)/n), l'autre sur Q(e^i;)/n), et qu'on tourne autour du premier,
on passe de Q(e^i;)/n) à (P+(Q-P)X) (e^i;)/n). Et (P+(Q-P)X)(1) = P(1)+Q(1)-P(1) = Q(1).

Donc on ne peut pas retourner l'aiguille.

Imod
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par Imod » 03 Nov 2011, 18:06

Oui Doraki et il me semble qu'on peut conclure la deuxième partie bien plus rapidement en remarquant que c'est évidemment impossible pour pi ( pour une raison de parité comme tu le dis ) et par voie de conséquence pour tous les pi/2^n .

Imod

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par Imod » 04 Nov 2011, 01:47

C'est plutôt dense comme réponse mais j'ai confiance , je lirais ça à tête reposée :dodo:

Imod

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par Imod » 04 Nov 2011, 01:58

Dlzlogic a écrit:Bonjour Beagle,
Oui, c'est vrai, mais dans mon esprit, un rotation est surtout une transformation qui fait correspondre 2 ensembles. J'ai même regardé dans le dictionnaire, rotation sous-entent axe fixe, donc à partir du moment où on a décidé de l'extrémité utilisée comme axe de rotation, si on recommence l'opération, donc la rotation, sauf hypothèse contraire, il s'agit toujours du même axe de rotation.


Echanger les deux extrémités en laissant l'une d'entre-elles fixe risque de poser problème :zen:

J'essaie d'énoncer les problèmes le plus clairement possible et sans piège , il me semble aussi qu'un énoncé court ( contenant donc quelques raccourcis ) est d'abord plus facile .

On peut ne pas partager mon avis :lol3:

Imod

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par Dlzlogic » 04 Nov 2011, 13:37

Bonjour Imod,
Oh non, je ne critiquais personne, mais j'avais pas compris, et j'avais conclu à un piège.
En fait l'angle l'a rien à voir en soi, si le nombre de côtés est impair on peut, sinon, on peut pas.
La valeur d'un angle au-delà de 5 à 6 chiffres significatifs n'a pas beaucoup de sens pour moi.
Quelle est la valeur de l'angle égal à pi/2^n, à moins de factoriser pi, ce qui me parait difficile,

Imod
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par Imod » 04 Nov 2011, 21:34

Jolie solution de Doraki :zen:

Dans le sujet d'olympiades on demandait si le retournement était possible pour un angle de 45° . On peut obtenir la réponse ( négative ) avec moins de théorie grâce aux valeurs particulières du sinus et cosinus de 45° . L'idée essentielle restant quand même un argument de parité .

Imod

 

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