Ben314 a écrit:Dans ton exemple, tu as :
Donc en fait, dans ce cas là, il n'y a rien à "résoudre" comme système.
Mais par contre
Donc le système formé par ces 3 congruence a pour solution tout les multiples du ppcm(10,6,5)=30
Salut,
Pour redire un peu la même chose que Ben mais peut-être plus 'lentement':
Considérons par exemple
6^x=1 [77]
10^x=1 [77]
15^x=1 [77]
Considérons 6^x=1 [77]
Nous devons rechercher le plus petit entier naturel n tel que
6^n = 1 [77]
Une fois cet entier n trouvé, nous saurons à coup sûr que x est un multiple de n (car n est le plus petit possible et x est forcément plus grand que lui et son multiple).
Maintenant pour trouver ce n, on peut par exemple calculer toutes les puissances de 6 une à une modulo 77 ce qui n'est pas difficile. Voici une autre méthode:
6^n = 1 [77]
Est équivalente à:
6^n = 1 + 77k (k un entier)
Alors 6^n = 1 + 7*(11k)
Et bien sûr: 6^n = 1 + 11*(7k)
Ce qui signifie que ( 6^n = 1 [7] et 6^n = 1 [11] ) sont équivalentes à 6^n = 1 [77]
(Cela est une application du Lemme chinois/le théorème d'isomorphisme chinois si ça te dit quelque chose)
Donc on cherche n tel que 6^n = 1 [7]
Et 6^n = 1 [11]
Un autre résultat d'algèbre (le théorème de Lagrange appliqué aux ss-groupes engendrés par <6> dans les groupes Z/pZ* qui sont maintenant cycliques car p est premier) dit:
On calcule 7-1=6
Et 11-1=10
On liste leurs diviseurs: {2;3,1,6}
{1;2;5;10}
Il suffit donc de chercher k dans {2;3;6;1}
Tel que 6^k = 1 [7]
On trouve k=2
Puis on cherche k dans {1;2;5;10} tel que 6^k=1 [11]
On trouve k=10
Donc 6^2=1[7]
Et 6^10=1 [11]
Donc si on prend n=10 (le ppcm de 2 et 10) on voit bien que
6^10=1 [7]
Et 6^10=1 [11]
Ce qui équivaut à 6^10=1 [77]
Donc n=10
Donc 10 divise x
On refait de même pour les 2 autres équations !