Sur une suite de fractions

[Ben314]

Hum, ça converge vers...t (si t est compris entre 0 et 1) ou alors je n'ai pas compris la question.

Si on ne compte pas le 0/1 du début pour que le nombre d'élément de la ligne p soit exactement 2^p (ce qui ne change pas les limites vu que le nombre d'élément de la ligne p tend vers l'infini avec p) alors, les éléments inférieurs ou égal à 1/3 sont :
Ligne 1 : aucun donc 0 sur 2
Ligne 2 : 1/3 donc 1 sur 4
Ligne 3 : 1/4 et 1/3 donc 2 sur 8
Ligne 4 : 1/5, 1/4, 2/7 et 1/3 donc 4 sur 16
etc...
Donc pour tout n supérieur ou égal à 2 on a fn(1/3)=1/4.

Pour l'instant, juste la réponse à la question initiale.

Pour moi, la question initiale était :
[quote]On connait un certain a/b (par exemple 233/377).
Montrer qu'il existe n tel que fn=a/b et déterminer f(n-1)[quote]
Et il me semble que j'ai la réponse mais je ne sait pas calculer (simplement) le 'n'...

[Doraki]

Tu cherches la "loi limite" de la disposition des fn sur [0;1] ?

Ben pour t réel (ou aussi rationnel), c'est donné à peu près directement par le développement en fraction continue de t.

Si t = 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + ...))),

Alors en binaire, ça m'étonnerait pas d'avoir quelquechose comme


Pour t = 1/3 = 1/(3 + 1/infini),
f(t) = 0.0011111... = 0.01 = 1/4

[Ben314]

C'est... sans doute ça (perso, j'ai pas cherché de forme explicite de f(t)...)

Mais je "rappelle" que la question n'est pas d'expliciter f(t), mais de savoir si elle existe [bon, évidement, si on a une forme explicite, c'est sans doute que ça existe... :doh:] puis de voir si elle est "régulière"...

P.S. J'ai pas complètement la réponse, mais une "trés forte conviction"...

[Ben314]

C'est... sans doute ça (perso, j'ai pas cherché de forme explicite de f(t)...)

Mais je "rappelle" que la question n'est pas d'expliciter f(t), mais de savoir si elle existe [bon, évidement, si on a une forme explicite, c'est sans doute que ça existe... :doh:] puis de voir si elle est "régulière"...

P.S. J'ai pas complètement la réponse, mais une "trés forte conviction"...

[Doraki]

Ben vu que la ligne n continent 2^n termes, et en fait rajoute un terme avant chaque terme de la ligne (n-1),

On a soit fn(t) = f(n-1)(t), soit fn(t) = f(n-1)(t) + 1/2^n.

Donc pour tout t, fn(t) converge vers quelquechose, et la convergence est uniforme.

Ensuite pour la régularité de f, ben elle est croissante, je suis à peu près sûr qu'elle est continue, elle n'est certainement pas dérivable aux points rationnels.
Pour les points irrationnels, j'dois réfléchir (ou utiliser ma flemme)

[Ben314]

Ben vu que la ligne n continent 2^n termes, et en fait rajoute un terme avant chaque terme de la ligne (n-1),
On a soit fn(t) = f(n-1)(t), soit fn(t) = f(n-1)(t) + 1/2^n.
Donc pour tout t, fn(t) converge vers quelquechose, et la convergence est uniforme.

O.K. (et c'est comme ça que j'envisagais le problème)

Ensuite pour la régularité de f, ben elle est croissante, je suis à peu près sûr qu'elle est continue

O.K. et la preuve n'est pas super dure

elle n'est certainement pas dérivable aux points rationnels.

Là, par contre, je suis pas d'accord (mais j'ai pas la preuve carré-carré)

P.S. Ta formule "explicite" de f(t) me semble correcte (à rédiger ?) et risque d'aider pour l'étude de la régularité (mais c'est pas sûr...)

[Doraki]

Tu as raison, je sais pas pourquoi j'ai cru que dérivée nulle en 0 = pas dérivable.

Finalement je crois que f est dérivable de dérivée nulle sur les rationnels.
Pour les irrationnels, je sais pas.

Après quelques calculs, on trouve aussi que si on regarde les suites
F2n/F2n+1 et F2n-1/F2n, qui convergent vers 1/phi, et qu'on calcule les pentes entre ces points et 1/phi, on a du O(phi/2)^2n.
Mais je crois que c'est pas suffisant pour montrer que f est dérivable en 1/phi et de dérivée nulle.

[Ben314]

Pour le moment, j'en suis aussi là : f est continue, strictement croissante (si je m'est pas gourré), dérivable en tout point rationnel et de dérivée nulle en ces points.

Je trouve que, déjà, c'est assez "joli" et, comme il faut quand même bien que la fonction monte "monte", la dérivée n'est surement pas nulle partout et j'aurais tendance à conjecturer que la dérivée est infinie en certains points irrationnels (lesquels ?), mais j'ai pas la preuve...

[nodjim]

Solution, c'est presque une histoire sans parole.
A --------------------------------------------------------B
----------------------------1------------------------------
-----------2--------------------------------3---------------
-----4-------------5---------------6---------------7-------
--8-----9------10-------11-----12-----13------14-----15---
16-17-18-19-20--21--22--23--24-25-26--27--28--29-30--31

un pair est entre sa moitié ( à droite) et le 1er nombre qui suit un impair dans les successions de division par 2.
un impair est entre sa moitié (à gauche) et le 1er nombre qui suit un pair dans les successions de division par 2.

Tout est dit, on sait encadrer le ènième nombre, et de proche en proche jusqu'à 1. Ensuite, il ne reste plus qu'à faire les sommations des encadrés successifs pour trouver les valeurs du numérateur et du dénominateur.

[Doraki]

La formule simple :
si x = Fn/Fn+1 alors la fraction précédent x est soit (3-4x)/(3x-1) soit (9x-5)/(4-5x), selon la parité de n.
Dans notre cas c'est la première, et ça donne 199/322.

[nodjim]

La formule simple :
si x = Fn/Fn+1 alors la fraction précédent x est soit (3-4x)/(3x-1) soit (9x-5)/(4-5x), selon la parité de n.
Dans notre cas c'est la première, et ça donne 199/322.

Oui c'est ça.
et pour toute fraction a/b, on recherchera donc sa position par le plus petit couple voisin (c,d) tel que ad-bc=1. et par une descente vers 1 comme l'a expliqué Ben314.