Supplémentaires

[Matt_01]

Salut,

Un petit exo assez simple, mais dont le résultat est assez marrant :
On se place en dimension finie. Montrer que deux sev de même dimension admettent un supplémentaire commun. La généralisation est elle vraie ?

[benekire2]

Il me semble bien que ça se généralise au cas où les dimensions de tes sev sont différentes.

[Matt_01]

Je rappelle qu'on est en dimension finie.
Si deux sev ont un supplémentaire en commun alors ils ont même codimension et donc nécessairement même dimension.

[benekire2]

Merde , en effet, c'est con :mur:

[benekire2]

Je pense que ça se généralise a une famille de sev. . . mais j'ai que la preuve pour 2 par récurrence.

[Matt_01]

Tu as procédé comment pour le cas de deux sev ? Personnellement, c'est un peu "bourrin" ...

[benekire2]

Et bien comme je connais l'exo c'est une preuve qui n'est pas totalement de moi, alors je descend en partant du cas avec deux hyperplans et donc c'est pas dur. Par contre c'est pour l'hérédité que c'est le merdier.
Si j'ai le temps tout a l'heure je la met en complet et peut être la généralisation si jamais j'arrive a généraliser ma récurrence. :ptdr:

PS. Mais y a p-e des conditions pour la généralisation ... :hein:

[Matt_01]

A vrai dire je n'ai pas regardé encore pour la généralisation ...
Tu fais par récurrence sur la dimension dans le cas ou il y a deux sev ?

Moi en fait j'ai construit le supplémentaire :
On note F et G les deux sev. On complète une base de F inter G en une base de F et en une base de G. Soient et les vecteurs ajoutés.
On considère un supplémentaire H de F+G et on montre que est un supplémentaire de F et G.

[benekire2]

Oui c'est ça sur la dimension des sev.

Cela dit ta méthode est assez tricky alors que la mienne est un peu plus "no brain" .. et je sais pas laquelle pourra se généraliser le mieux :we:

Bon, je suis en pleine séance Terminator, je reviens a la pause.

[Nightmare]

En fait la méthode de Matt_01 est la plus naturelle (soit dit en passant, j'ai l'impression qu'il faut quand même traiter à part le cas où F et G sont en somme directe).

Pour une généralisation, benekire a donnée l'idée : C'est vrai pour deux hyperplans (un supplémentaire commun étant pour un vecteur x qui n'est dans aucun des deux hyperplans) puis on fait une récurrence descendante sur la dimension :

Si (Ai) est une famille d'ev de dimension n, les Ai+{x} pour x qui n'est pas dans la réunion des Ai engendrent des ev de dimension n+1 qui par hypothèse ont un supplémentaire S commun. Il est clair alors que S+{x} engendre un supplémentaire commun aux (Ai).

[Matt_01]

Yep, ca marche bien !
Par contre je ne vois pas en quoi il faut distinguer le cas où F et G sont en somme directe ... :hein:

Ca montre par exemple que dans un espace de dimension paire, un sev de dimension moitié et un de ses supplémentaires admettent un supplémentaire commun.

[Nightmare]

Hum non, après réflexion, on a effectivement pas besoin de séparer les cas !

[benekire2]

Re,

Je viens de regarder la méthode de Matt et je n'arrive pas a conclure sur le fait que l'ev que tu exhibe est bien supplémentaire a F et a G. J'ai bien sûr essayé que l'intersection était réduite a 0 et que la somme des deux faisaient E mais je n'ai rien réussi. Est-ce que quelqu'un peut donner les grandes lignes de la preuve svp ? Merci !

[Nightmare]

Il suffit de montrer que Vect(ei+ui) est un supplémentaire de F et G dans F+G. Pour ça, on peut voir que les matrices des familles (ei, ei+ui) et (ui, ei+ui) dans la base (ei,ui) de F+G sont toutes les deux inversibles.

[benekire2]

Très intéressant l'utilisation de l'outil matriciel , merci beaucoup nightmare, je n'y aurais pas pensé :we:

[Nightmare]

Vois-tu comment conclure?

[Matt_01]

Pour ma part j'ai simplement écrit que Donc et en utilisant la dimension, cette somme est directe.
De même pour G.

EDIT : au final, c'est la même chose que Nightmare, sauf que je passe sous silence comment on montre la première égalité. Je l'avais montré en écrivant F+Vect(...) = Vect (....) et en manipulant les vecteurs de la base (comme quoi on a le droit de soustraire ou d'additionner n'importe quel vecteur de la base à un autre vecteur, sans perte de généralité)

[Nightmare]

Oui Matt, c'est bien ce que je proposais de faire à Benekire ! Mais pour montrer que F+Vect(...)=F+G il y a quand même quelque chose à écrire.

[benekire2]

Vois-tu comment conclure?

Pour l'instant je regarde la télé :zen: et je regarderais en détail comment relier les bouts et conclure correctement , mais je pense que il va falloir regarder l'application associée a cette matrice qui aura le bon goût d'être bijective i.e surjective et injective i.e les combinaisons linéaires de (ei,ei+ui) surjecterons E ( ce que l'on veut) et de l'injectivité on tirrera le caractère direct de cette somme. Ca reste bien sûr à écrire.

EDIT. A la vue du message de matt , on montre du coup facilement le caractère direct de la somme avec les dimensions, donc du coup on utilise juste l'injectivité de l'appli linéaire associée à la matrice. Et en fait on peut même se passer des matrices pour le coup même si c'est la même chose en fait.

[Matt_01]

Oui Matt, c'est bien ce que je proposais de faire à Benekire ! Mais pour montrer que F+Vect(...)=F+G il y a quand même quelque chose à écrire.

Je viens justement d'écrire un edit à ce sujet :id: