Suites et series de fonctions

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
fonfon
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suites et series de fonctions

par fonfon » 01 Sep 2006, 20:47

Salut, je sais pas si ca a été déja posé car c'est rare que je vienne ici:

Soit une suite de polynômes à coefficient réels, convergeant sur R uniformément, vers une fonction f.

Prouver alors que f est un polynôme.

Ps:ce n'est pas trop dur



abel
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par abel » 02 Sep 2006, 21:06

Y a un truc que je comprend pas :
Si on prend :
Pn = somme(k=1..n ; x^k)
Pn est bien un polyonme et pourtant il converge vers 1/(1-x) (pour |x|<1).
Enfin j'ai ptetr zappé une étape...

fonfon
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par fonfon » 02 Sep 2006, 21:16

Salut, je pense que tu as peut-être zappé qq chose

moi j'utilise le fait que verifie le critère de Cauchy uniforme.ET que seuls les polynomes constant sont bornés sur R....

Bija
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par Bija » 02 Sep 2006, 21:17

Oui mais ne converge pas uniformément sur R, donc ca ne correspond pas aux hypothéses du probléme posé : si on remplace R par un intervalle borné ca change tout !

Pour la solution, on a pour n>N, || Pn-PN|| <1 or les seuls polynomes bornés sont les polynomes constants donc il existe une suite de réels an tq Pn=PN+an, pour n>N. La suite an converge donc vers f(0)-PN(0)=k, mais aussi vers f(x)-PN(x), puisque Pn(x) converge vers f(x) qd n tend vers +infini, qq soit x réel.
D'ou f=PN+k est un polynôme.

fonfon
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par fonfon » 03 Sep 2006, 13:28

bien Bija je vais juste redétailler un peu


La suite verifie le critère de Cauchy uniforme.

Soit ; alors ,

donc ,

Or seuls les polynômes constants sont bornés sur R, donc:
, .

La suite converge vers f(0), donc la suite converge vers .

, on a:



donc
donc f est bien un polynôme

A+

atito
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par atito » 15 Sep 2006, 16:33

bien évidemment, cet exo n'est pas d'un olympiade mais juste le cours du SUP!!
Fallait penser à le poster dans supérieur je pense

Bija
Membre Naturel
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Enregistré le: 28 Aoû 2006, 21:22

par Bija » 17 Sep 2006, 19:35

la convergence uniforme se voit en spé.

 

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