anthony_unac a écrit:"Pour tout couple tel que est premier, est premier"
¬(A ⇒ B) ≡ A ∧ (¬B)
samoufar a écrit:Ce qui revient au même que
"Pour tout tel que est premier, est premier"
Par conséquent la négation de cette proposition est
"Il existe tel que est premier et n'est pas premier"
nodgim a écrit:@samoufar: la récurrence est une contrainte de l'énoncé, il faut bien faire avec...
(P(n) ∧ (P(k) ⇒ P(k+1))) ⇒ ∀k ≥ n, P(k)
samoufar a écrit:
Sauf qu'ici la propriété à montrer est du type "il existe...", donc nécessite d'exhiber un n en particulier, alors que la récurrence sert à montrer une propriété du type "pour tout...".
samoufar a écrit:La formule logique définissant la récurrence est
- Code: Tout sélectionner
(P(n) ∧ (P(k) ⇒ P(k+1))) ⇒ ∀k ≥ n, P(k)
anthony_unac a écrit:Le raisonnement par récurrence peut il être utilisé dans ce cas en supposant (phase d'hérédité) que si on considère que la proposition est vraie à un rang "n" cela n'implique PAS qu'elle soit vraie au rang "n+1" prouvant ainsi que la proposition est fausse.
J'avoue ne jamais avoir vu une démonstration par récurrence exécutée de cette manière (négative).
La manière la plus courante de démontrer une proposition (comme étant juste) étant de démontrer que vraie implique vraie.
anthony_unac a écrit:samoufar a écrit:La formule logique définissant la récurrence est
- Code: Tout sélectionner
(P(n) ∧ (P(k) ⇒ P(k+1))) ⇒ ∀k ≥ n, P(k)
La on touche au coeur du problème, pouvons nous démontrer qu'une propriété (est fausse) à l'aide d'une non implication :
(P(n) ∧ (P(k) ¬⇒ P(k+1))) ⇒ ∀k ≥ n, ¬P(k)
A moins que la négation (concernant l'implication) ne s'écrive comme ceci :
(P(n) ∧ ¬(P(k) ⇒ P(k+1))) ⇒ ∀k ≥ n, ¬P(k)
Cette dernière étant alors logiquement équivalente (d'après les règles que vous m'avez enseignées) à :
(P(n) ∧ (P(k) ∧ ¬P(k+1))) ⇒ ∀k ≥ n, ¬P(k)
En gros pour revenir au problème on cherche à démontrer la fausseté de la proposition :
"Pour tout tel que est premier, est premier"
On montre qu'elle est vraie à un certain rang (mettons pour r=1) est vraie
Puis on considère qu'elle est vraie à un certain rang ( vraie) mais que ceci n'implique PAS qu'elle est vraie au rang suivant
Pouvons nous conclure que la proposition est fausse ?
anthony_unac a écrit:Merci à tous les intervenants pour cette discussion riche en enseignement
Voici une petite synthèse de ce qu'il faut retenir (n'hésitez pas à me corriger) :
- On peut démontrer la véracité d'une proposition du type : "Pour tout (à partir d'un certain rang), qqch... " à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
- On peut démontrer la fausseté d'une proposition du type : "Pour tout (à partir d'un certain rang), qqch... " à l'aide d'un contre exemple sachant que démontrer la fausseté d'une proposition revient à démontrer la véracité de sa négation (j'utilise ce terme sans réellement le maîtriser) : "Il existe un tel que qqch ..."
anthony_unac a écrit:En guise de conclusion, je vous propose de démontrer la fausseté de la proposition : "Tout entier pair est divisible par 3" à l'aide d'un (pseudo) raisonnement par récurrence tout en sachant que la bonne méthode est de donner un contre exemple.
samoufar a écrit:Bonjour,
La négation de cette proposition est "il existe tel que ...". Comme elle est fausse pour , c'est terminé.
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