Suite

par **mt2sr** » 25 Juin 2007, 11:49

bonjour
soit

une suite croissante positive
Montrer que:

par **emdro** » 25 Juin 2007, 11:53

Hello,

Qu'as-tu fait?

par **mt2sr** » 25 Juin 2007, 12:31

de quoi vous parlez

par **emdro** » 25 Juin 2007, 12:46

???

De cet exercice que tu nous soumets!
Tu as cherché? Dans quelle voie? Ou bloques-tu?

par **mt2sr** » 25 Juin 2007, 12:57

ah oui
ton encadrement est pas mal j'ai pas pu trouver mieux est-ce que vous avez d'autres idées

par **emdro** » 25 Juin 2007, 13:08

mt2sr a écrit: une suite croissante positive
Montrer que:

Je parlais de ce nouveau problème!

par **lapras** » 25 Juin 2007, 13:23

Par récurrence non ?

par **mt2sr** » 27 Juin 2007, 16:08

j'ai aucune idée
j'ai essai d'appliquer inégalité de moyenne arithmétique geo mais sans succés

par **lapras** » 09 Juil 2007, 20:03

salut,
Il faut montrer que 1/a1 + 2/(a1 + a2) + ... + n/(a1 + a2 + ... + an) < 4 (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)
ceci équivaut à :
1/2a1 + 2/2(a1 + a2) + ... + n/2(a1 + a2 + ... + an) < 2/a1 + 2/a2 + ... + 2/an
comparons membre a membre :
comme on sait que an est une suite croissante positive, alors 1/(2a1) < 2/a1 ; 2/a2 < 2/(2(a1 + a2)) car 2(a1 + a2)) > a2 car a1 + a2 > a2... tu continues jusqu'au rang n, et tu prouves que l'inégalité.

je suis pas sur...

par **fryters** » 12 Juil 2007, 15:06

vas déjà jusqu'au rang 5 tu vas voir

par **Imod** » 28 Juil 2007, 17:03

Une idée à vérifer ( les calculs sont un peu laborieux !!! ).

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz , pour

:

.
Donc pour

:

.
Avec

.
Or

.
Alors :

.
On a le résultat demandé mais on n'a pas utilisé le fait que

est croissante ce qui est surprenant pour ce type d'exercice !

Imod

par **lapras** » 28 Juil 2007, 23:02

Bonsoir,
j'ai peut etre trouvé plus simple ^^
Par exemple au rang 3 :
3/2(a1 + a2 + a3) est inférieur à 3/2*3a3 puisque ai est croissante donc 3/(a1 + a2 + a3) est inférieur à 1/2a3 est inférieur à 2/a3 et on généralise au rang n :
n/2(a1+...+an) < n/(2*n*an) < 1/2an < 2/an

membre a membre l'inégalité est vérifiée

par **Imod** » 28 Juil 2007, 23:18

Je ne comprends pas tes expressions 3/2*3a3 ? 3/2(a1+a2+a3) ?

Utilises-tu les règles de priorité ou des conventions personnelles ?

Imod

par **lapras** » 28 Juil 2007, 23:28

Je ne comprends pas tes expressions 3/2*3a3 ? 3/2(a1+a2+a3) ?

j'ai divisé par deux 4(1/a1 + ... + 1/an) et ca équivaut a prouver que :
1/2a1 + 2/2(a1+a2) + ... + n/2(a1+...+an) 3a1 puisque ai est croissante donc a1 + ... + an > n * a1 donc n/2(a1 + ... + an) 2/a1 > 1/2*a1
preuve au rang 4 par ex :
4/2(a1 + ... a4) 2/a1 > 1/2a1

Voila, en fait je m'étais embrouillé dans mon dernier post

par **Imod** » 29 Juil 2007, 02:20

lapras a écrit:2/an > 2/a1 > 1/2*a1

Tu en es sûr ?

Imod

par **alben** » 29 Juil 2007, 09:53

Imod a écrit:On a le résultat demandé mais on n'a pas utilisé le fait que est croissante ce qui est surprenant pour ce type d'exercice !

Ce n'est pas étonnant,si on pose :

on a immédiatement

Cette quantité est positive si la suite est décroissante ou constante (on n'a plus besoin du facteur 4). Autrement dit, la condition a_n croissant correspond au cas le plus défavorable, où l'inégalité est plus difficile à établir

par **lapras** » 29 Juil 2007, 11:15

Imod >
dsl j'ai inversé l'inégalité !
En fait mon résultat devient faux à cause de cette erreur...
Dommage, je pensais que la comparaison membre a membre donnerait du résultat.
alben > comment peut etre sur que 4a1 - an > 0 ?

par **alben** » 29 Juil 2007, 11:25

lapras a écrit:Imod >
alben > comment peut etre sur que 4a1 - an > 0 ?

ce n'est vrai que si la suite est décroissante ou constante
Je voulais simplement répondre à l'interrogation d'Imod (je n'ai pas regardé vos calculs respectifs).

par **lapras** » 29 Juil 2007, 11:51

Ok je vois.
Mais en fait la suite est ici croissante.

par **J-R** » 01 Aoû 2007, 15:50

pas mal ce petit exo

a+

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