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Olympiades mathématiques, énigmes et défis
jlb
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par jlb » 11 Sep 2013, 05:06

Bonsoir, tombé sur ce petit énoncé par hasard :

"(Vn) une suite vérifiant lim (V(n) -2V(n+1)+V(n+2))=a

Montrer que lim V(n)/n²=a/2"

A vous de jouer!



Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 13 Sep 2013, 12:59

On applique Cesaro deux fois.

la moyenne des n premiers V(k)-2V(k+1)+V(k+2) ça fait (V(0)-V(1)-V(n)+V(n+1))/n, qui converge vers a
Donc Wn = (V(n+1)-V(n))/n converge vers a

Donc la suite (Zn) = W0, W1, W1, W2, W2, W2 ... converge aussi vers a,
la moyenne des n(n+1)/2 premiers Zn ça fait 2(V(n) - V(0))/n(n+1), et donc V(n) est équivalent à an²/2

jlb
Habitué(e)
Messages: 1886
Enregistré le: 27 Jan 2013, 19:35

par jlb » 13 Sep 2013, 13:03

Doraki a écrit:On applique Cesaro deux fois.

la moyenne des n premiers V(k)-2V(k+1)+V(k+2) ça fait (V(0)-V(1)-V(n)+V(n+1))/n, qui converge vers a
Donc Wn = (V(n+1)-V(n))/n converge vers a

Donc la suite (Zn) = W0, W1, W1, W2, W2, W2 ... converge aussi vers a,
la moyenne des n(n+1)/2 premiers Zn ça fait 2(V(n) - V(0))/n(n+1), et donc V(n) est équivalent à an²/2

bien joué! trouvé dans bouquin Lelong Ferrand Arnaudiès, avec quelques questions préliminaires!!

 

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