Suite de rationnel
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Nightmare
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par Nightmare » 26 Oct 2007, 21:27
Bonsoir :happy3:
Je vous soumets un petit exo sympathique dont la/les démonstrations sont très jolies.
On considère deux suites
et
d'entiers telles que
admet une limite
irrationnelle.
Question : Montrer que
.
A vous de jouer.
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yos
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par yos » 26 Oct 2007, 21:53
Salut.
Je vois ça comme ça :
Avec un entier q compris entre 1 et M, il n'y a qu'un nombre fini de p tels que
et aucun de ces p/q ne vaudra
. Donc en prenant
assez petit, aucun des p/q ne sera dans
. Et donc l'inégalité
.
Mais l'inégalité
.
Pour
, ensuite c'est évident.
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Nightmare
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par Nightmare » 26 Oct 2007, 23:38
Salut Yos.
Je n'avais pas vu ça comme ça, je réfléchis à ta preuve. D'autres amateurs sinon?
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ThSQ
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par ThSQ » 27 Oct 2007, 08:42
Nightmare a écrit:D'autres amateurs sinon?
La preuve de yos est tout à fait valable. D'ailleurs c'est celle de mon bouquin
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Imod
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par Imod » 27 Oct 2007, 09:01
J'ai bien une démo mais elle paraît trop simple pour être juste :doh:
Si par exemple
ne tend pas vers
alors
a une valeur d'adhérence dans
. On peut extraire de
une suite constante
, la suite extraite
donc
et
: c'est impossible .
Imod
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Nightmare
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par Nightmare » 27 Oct 2007, 16:04
Je n'ai pas dit que la preuve de Yos n'était pas bonne (pas assez prétentieux pour ça :lol:)
Oui Imod, c'est ma première preuve.
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