Suite et puissances de 2

[lapras]

Exercice très interessant :

Montrer que la suite contient une infinité de puissance de 2 où [x] désigne la partie entiere de x

[aviateurpilot]

supposons que est fini.
soient



maintenant pour :

si alors
donc de meme que le 1er cas, (absurde)

donc est infini

[lapras]

Ok aziz tres beau ! Je m'attendais à ce que tu crées de tels ensembles et que tu fasses une démo par l'absurde.
On peut aussi (l'idée n'est pas de moi) montrer plus généralement que pour tout dans il existe une infinité de tels que
Ici on a :


ce qui est un cas particulier du lemme précédent.
Le lemme précédent peut être lui même montré en démontrant que pour tout irrationnel, l'ensemble est dense dans (on passe au logarithme pour montrer dense dans )
Pour la démo de ce dernier lemme, c'est assez compliqué à expliquer sans schéma mais il faut représenter sur un cercle de périmetre 1 une origine, et puis en étudiant la position des multiples de sur le cercle on peut démontrer que pour tout intervalle de il existe un multiple de dans cet intervalle.