Suite périodique

[mt2sr]

bonsoir
j'ai pas pu résoudre totalement cet exercice d'olympiade

soit f une fonction définie par f(x)=x^3-3x+3
Montrer que pour tout p entier positive non nul il existe X0 tel que la suite (xn) est périodique et p son période
X(n+1)=Xn-f(xn)/f'(xn)

voila ma démarche:
j'ai considéré la fonction g(x)=x-f(x)/f'(x) et j'ai volais montré que g^p (g composé p fois) admet un point fixe noté X0
j'ai réussi à démontrer que g admet un point fixe (c'est la solution de l'équation f(x)=0) g^2 aussi, son point fixe dans l'intervalle ]-1,0[ aprés je me bloc
merci de m'aidé

[windows7]

salut

g(x)=x-(x^3-3x+3)/(3x²-3)

tu peux essayer de montrer que g^p est contractante sur un certain interval

[Ben314]

Salut,
Commence par faire le tableau de variation de \varphi et constate que :
- Sa restriction à ]1,+oo[ est une bijection de ]1,+oo[ sur ]-oo,+oo[.
- Sa restriction à ]0,1[ est une bijection de ]0,1[ sur ]1,+oo[.
Avec uniquement ces deux constatations (et le théorème des valeurs intermédiaires), tu peut montrer que, pour tout p=>2, il existe un xo dans
]0,1[ tel que la suite partant de ce xo là soit périodique de période p...

[windows7]

> ben

pourquoi ne pas trouver directement I compact tq G(I) inclus dans I ?

[Ben314]

Qui appelle tu G ?
Si c'est gogo...og (p fois), le problème c'est qu'un point fixe xo de gogo...og ça fourni pas forcément une suite p-périodique car xo risque d'être un point fixe de g (ou de gog si p est pair ou de gogog ou...) et que vu le contexte, on cherche une suite dont la plus petite période est p...

[windows7]

je m'explique

cette suite c'est en realité, et je ne doute pas que tu l'ai remarqué, les itérés de newton.

or il ya un theoreme ( je ne sais plus lequel ) qui donne une condition pour que xn soit 'divisible' en k sous-suites disjointes formants un p cycle quelconque de la fonction x-f(x)/f'(x)

ici ca semble etre le cas

[mt2sr]

il y a beaucoup de termes qui m' échappe n'oubliez pas qu'il faut utilisé les outils du niveau ne dépassant pas le terminale. j'ai utilisé (le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer le cas ou p=2

[Ben314]

Bon, tu fait un tableau contenant f", f', tu en déduit les variations de f et en particulier qu'elle ne s'annule qu'une fois en un a de ]-oo,-1[.
Dans le même tableau, tu en déduit le signe de g'=f.f''/(f')² puis les variations de g : en particulier, tu vois que :
(1) g est bijective de [0,1[ sur [1,+oo[.
(2) g est bijective de ]1,+oo[ sur ]-oo,+oo[=R. Appelons h la bijection réciproque de g sur ces intervalles : h:R->]1,+oo[

Pour p entier >=2 fixé, tu considère la fonction phi:[0,1[->R , x->g(x)-hoho..oh(x) où h apparait p-1 fois.
Elle est évidement continue
phi(0)=1-hoho...oh(0)<0 car h(?)>1
lim en 1 de phi(x) = +oo car g tend vers +oo et hoho...h vers une limite finie.
Il existe donc un a de ]0,1[ tel que phi(a)=0, c'est à dire g(a)=hoho...oh(a) ce qui signifie que gogo...og(a)=a (où g apparait p fois) ce qui fournit un vrai p-cycle.

[mt2sr]

merci pour la réponse
on sait maintenant que 'a' existe mais comment on peut être sur que ce n'est pas un point fixe de go...g i fois tel que i

[Ben314]

cela vient simplement du fait que, vu la construction de a, dans la suite a,g(a),gog(a),... il n'y a que a qui est dans ]0,1[, les autres sont dans ]1,+oo[.

[mt2sr]

g(a) dans ]1,+00[ mais g(g(a)) peut être dans ]0,1[

[Ben314]

Non : est (par construction) tel que où désigne p-1 fois.
Donc, pour tout on a car .
Or va de dans donc

[mt2sr]

mtn les choses sont bien claire merci