Suite "logique" (ou presque...)

[Ben314]

Concernant la fameuse suite 1,2,4,8,16,31,... correspondant au nombre de "zones" du disque que l'on obtient lorsque l'on relie par des segments n points sur le cercle (en les plaçant de façon à ce que 3 segments ne soient jamais concourants), est ce que quelqu'un peut me trouver une formule simple donnant le n-ième terme et expliquant pourquoi elle commence avec les même valeurs que la suite 2^n ?
(c'est bien un "défi" : je connais la réponse)

[Ben314]

Toujours personne ?

[chan79]

Toujours personne ?

salut
je connais cette formule:

si n>3

[Ben314]

Tu peut donner une preuve élémentaire ?

[adrien69]

Oh ! Combien de zones seront encadrées par 4 traits, combien par deux, et la derniere qui en aura plein, c'est ca ?

[Ben314]

Non, les "zones" ne sont pas des quadrilatères.

Le 1 de la formule, c'est assez clairement la zone de départ.
Le coeff binomial (n 2), c'est le nombre de paires de points donc le nombre de segments tracés.
Le coeff binomial (n 4) c'st le nombre de "quadruplets" mais à quoi correspond-t-il ?

Et pourquoi la somme des 3 fait elle le nombre de zones ?

Sinon partant de la formule que tu donne et en utilisant la formule de calcul des éléments du triagngle de pascal, on peut écrire le nombre de zones sous la forme :

ce qui explique la valeur de lorsque

[chan79]

Tu peut donner une preuve élémentaire ?

Comme je ne l'ai pas établie moi-même, je mets un [url=Counting Regions Formed by Chords of a Circle]lien[/url]

[chan79]

Tu peut donner une preuve élémentaire ?

Comme je ne l'ai pas établie moi-même, je mets un lien

[Ben314]

Comme je ne l'ai pas établie moi-même, je mets un lien

La preuve qu'il donnent, outre d'être en anglais ( :hum: ) est on ne peut plus "bourinne" alors qu'on a le résultat en "claquant des doigts" :

En fait il suffit de regarder ce qu'il se passe lorsque l'on trace les segments les uns après les autres en termes de
- Nombre de zones
- Nombre de points d'intersections de segments (à l'intérieur strict du disque)
- Nombre de segments

Donc sur une figure où certains segments sont déjà tracés, je pose mon stylo sur un des points M du bord et j'avance doucement en direction d'un autre point N pour tracer le segment.
Le stylo rencontre (éventuellement) un premier segment -> Bilan = +1 zone et +1 point d'intersection
Le stylo rencontre (éventuellement) un deuxième segment -> Bilan = +1 zone et +1 point d'intersection
etc...
et à la fin, lorsque le stylo arrive (enfin...) en N, cela créé une zone de plus et pas de point d'intersection

Bilan total du tracé d'un segment : +1 segment ; +k points d'intersection et +k+1 zones
donc NbZones - NbPointsDIntersection - NbSegment reste constant égal à... 1 (ce qu'il valait au départ avant qu'on trace le premier segment.

Donc à la fin, on aura encore NbZones = NbPointsDIntersection + NbSegment + 1

Or, les point d'intersection sont intersection de 2 segments sans extrémité commune donc proviennent de 4 points distincts du cercle et, réciproquement, étant donné 4 points distincts A,B,C,D du cercle A,B,C,D sont dans cet ordre sur le cercle, seuls les segments [AD] et [BC] créent un point d'intersection. Il y a donc autant de points d'intersection que de {A,B,C,D} c'est à dire s'il y a point sur le cercle (avec évidement la convention que ce nombre vaut 0 lorsque n<4)

Pour le nombre de segments, là, c'est trivial, il y en a clairement .

Conclusion : il n'y a rien à "sommer" (contrairement à ce que fait le "Dr Rob"... en anglais... :zen: )

[Ben314]

Tient, en cherchant d'autre référence concernant la suite, je suis tombé là dessus :

En mathématiques, tant que la règle n'a pas été donnée ... tu peux choisir la règle. Et tu peux compléter les suites qu'on te propose par ... ce que tu veux. Mais celui qui te teste ne le sait peut-être pas, hélas.

Dont j'aime bien la formulation...

C'est tiré de là

Et j'en profite pour demander quelle est la formule générale complétant la suite 1,2,4,8,14 comptant le nombre maximal de zones du plan que l'on peut obtenir en traçant n cercles (toujours tiré de là)

Evidement, méthode bourinne avec des sommes -> s'abstenir...