Suite d’entiers

[MMu]

.Salut amis des math, voici un petit défi.
Soit une suite définie par la récurrence avec entiers strictement positifs.
Montrer que tous les termes de la suite sont entiers Si et Seulement Si est divisible par

[Ben314]

Salut,
ce qui montre que le rationnel est indépendant de et vaut systématiquement .
- Si et sont entiers, alors, du fait que , les sont bien tous entiers.
- Réciproquement, si les sont tous entiers, écrivons (irréductible) et, pour tout , posons . La suite est une suite d'entiers qui vérifie la relation donc, pour tout est entier ce qui signifie que divise . Comme , l'entier divise en fait tout les . La suite est donc de nouveau une suite d'entiers commençant par et vérifiant donc tous ses termes sont de nouveau divisibles par . Etc . . .
Les termes de la suite sont donc tous divisible par n'importe quelle puissance de ce qui n'est possible que si , c'est à dire entier ou bien s'ils sont tous nuls. Or, le deuxième cas impliquerais que ce qui est contraire à l'énoncé ().