Stratégie dans un triangle

[Vassillia]

Bonjour à tous, un petit défi à nouveau.

On a inventé un nouveau jeu, le joueur 1 et le joueur 2 vont devoir compléter à tour de rôle la figure ci-dessous en mettant soit A, soit B, soit C sur l’un des sommets encore libres des petits triangles.
- Pour un sommet sur le grand coté AB, on ne peut mettre que A ou B
- Pour un sommet sur le grand coté AC, on ne peut mettre que A ou C
- Pour un sommet sur le grand coté BC, on ne peut mettre que B ou C
- Pour un sommet à l’intérieur, on peut mettre au choix l’une des 3 lettres

A la fin, lorsque tous les sommets ont une lettre
-Le joueur 1 gagne 1 point pour chaque petit triangle ABC obtenu dans le sens des aiguilles d’une montre
-Le joueur 2 gagne 1 point pour chaque petit triangle ABC obtenu dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens trigonométrique).
-Les autres petits triangles ne valent aucun point



Quelle est la meilleure stratégie pour joueur 1 et joueur 2 ? Qui va gagner ?

PS : Pour la culture mathématiques, cela vous fait penser au lemme de ... ?

[Vassillia]

Indice : je n'ai pas spécifié le nombre de rangées de petits triangles dans le grand triangle

[lyceen95]

Tu n'as pas spécifié le nombre de rangées, mais j'ai l'impression qu'il joue un peu.

Ici, sur un côté, en partant de A par exemple, et en descendant vers B, en 'tournant ABCABCABC , ou ACBACBACB, il y a une des 2 séquences qui permet de bien arriver à la lettre B en bas.
On n'a pas un multiple de 3.
On a l'impression que ça doit jouer un peu dans le résultat.

Et certainement, on peut réduire la grille, en enlevant 3 lignes ou 6 lignes, sans que ça ne change quoi que ce soit.

[azf]

Bonjour

Je dirais qu'il faut commencer par l'un des sommets A,B,C

dans un jeu à 4 triangles on peut avoir une partie nulle

dans un jeu à 9 triangles celui qui commence gagne (s'il joue bien et quelque soit le jeu de l'autre)

après je ne sais pas

[Vassillia]

Merci de votre participation

@Lyceen95 Je ne comprends pas tout à fait ce que tu veux dire mais tu as raison sur le fait que regarder les triangles qui jouxtent les grands cotés va être important.

@azf Tu es sur ? Les sommets A,B et C sont fixés pour le grand triangle qui englobe tout le monde, tu ne peux pas y toucher, le plateau de jeu est comme ça. Je te mets toutes les configurations qu'on peut obtenir. Quelque soit la manière dont les joueurs jouent, on va forcément tomber sur l'une d'entre elle.
Il me semble qu'il n'y a pas de partie nulle pour le cas 4 triangles

[azf]

Les sommets A,B et C sont fixés pour le grand triangle qui englobe tout le monde, tu ne peux pas y toucher,

Oui je sais mais j'ai joué contre moi en deep learning , 1 million de parties et les 100000 dernières j'ai partie nulle



faut pas trop que je plaisante avec ça mais bon...on verra bien si on me fout à la casse

[azf]

Possible que je me sois trompé

le problème c'est que je suis en train de bosser et j'ai fait ça sur un brouillon pour me changer les idées et mes brouillons je les jette au fur et à mesure que je fais ce que je fais

[Vassillia]

Tu peux bien jouer contre toi-même encore plus longtemps si tu veux. Toutes les configurations autorisées par la règle sont gagnantes pour le joueur 2 comme le montre mes dessins plus haut, ta marge de progression ne permettra pas de faire partie nulle.
C’est triste mais c’est la règle : dura lex, sed lex

[azf]

j'ai dû me tromper alors

j'ai jeté le brouillon (il faudrait que je recommence )

[azf]

Je viens de le refaire

Oui tu as raison (j'avais placé une lettre non autorisée sur le côté en bas)

[Vassillia]

Parfait maintenant qu'on est d'accord, je te laisse réfléchir à nouveau pour 9 triangles ou plus si tu le veux.

[azf]

Parfait maintenant qu'on est d'accord, je te laisse réfléchir à nouveau pour 9 triangles ou plus si tu le veux.

Je me suis trompé aussi avec neuf triangles

celui qui commence perd (si l'autre joue bien )

[azf]

heu non pardon j'ai mal fait mon calcul

celui qui commence gagne (mince je m'embrouille je ne suis pas concentré en cherchant une méthode je suis en train de faire trente six choses à la fois)

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Le ABC direct gagne de 1, quoi qu'on fasse.
C'est mon petit doigt qui me l'a dit.

[Vassillia]

Tu as raison, c'est exactement ça, bien joué
Ton petit doigt a visiblement beaucoup d'intuition
Maintenant il faut des arguments convaincants pour que les courageux participants qui n'ont pas démérités arrêtent de s'entrainer contre eux-même sans aucun espoir d'améliorer leur stratégie.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Pour me convaincre, mon petit doigt a fait le dessin suivant :



Et il m'a glissé à l'oreille :

Quand tu as deux côtés AB dans un triangle, tu joins leurs milieux par un gros trait rouge. À la fin, tu auras des lignes rouges qui peuvent être d'un des cinq types de mon dessin. Ou bien la ligne rouge tourne en rond, ou bien elle s'arrête avec un triangle ABC direct ou indirect, ou elle s'arrête au bord avec rien de l'autre côté.
Contemple mon dessin et tu verras que la différence entre le nombre de triangles ABC directs et le nombre de triangles ABC rétrogrades est égale à la différence entre le nombre de côtés AB du bord qui ont l'extérieur à droite en allant de A vers B et le nombre de ceux qui ont l'extérieur à gauche.

Vous comprenez ce que m'a soufflé mon petit doigt, vous ?

[Vassillia]

C'est surtout à lyceen95 et azf de répondre à cette question mais je trouve cette explication très jolie. On visualise bien mieux ce qui passe en suivant des lignes rouges qu'en simplifiant des calculs. Ta maniere d'aborder le problème est assez différente de ce que je connais, merci !

Il y a du favoritisme, mon petit doigt à moi n'est pas trop du genre à me souffler une démonstration du lemme de Sperner, il est plus du genre à me répondre, "Je ne sais pas, débrouille toi, je me contente d'écrire"

[GaBuZoMeu]

Au réveil, mon petit doigt a ajouté qu'une "ligne rouge" peut être réduite à un point (le milieu d'un côté AB).

[azf]

Bonjour Vassillia & GaBuZoMeu

Vassillia tu me dit que c'est surtout à moi de répondre alors voilà:

Vous comprenez ce que m'a soufflé mon petit doigt, vous ?

Non je ne comprend pas GaBuZoMeu
Je pourrai dire que je comprend un peu mais pas tout mais pour moi comprendre un peu ça équivaut à ne rien comprendre
Soit on comprend et on comprend tout soit on ne comprend rien
(ce n'est pas le genre de choses qu'on fait à moitié et dans l'à peu près)
Cependant il faut me laisser du temps
Je ne demande pas plus d'explications mais juste me laisser le temps de réfléchir tout seul dans mon coin
C'est souvent quand je suis tout seul et que je pense à une question que j'arrive à comprendre à comment l'aborder
Mais voilà j'ai des tonnes de travail à faire en maths (pour arriver au niveau de GaBuZoMeu ) et j'avoue que je suis un peu débordé en ce moment

[Vassillia]

Bonjour azf,
Je te fais une autre version, tu verras peut-être le lien avec l'explication précédente. On regarde tous les segments qui joignent les sommets des petits triangles et on compte :
+1/3 si les deux lettres des extrémités sont différentes et sont dans le sens trigonométrique,
–1/3 si les deux lettres des extrémités sont différentes et sont dans le sens des aiguilles d’une montre
0 si les deux lettres des extrémités du segment sont identiques.

Les segments qui bordent le grand triangle reçoivent un seul coefficient et tous les autres segments qui sont à l’intérieur du grand triangle reçoivent deux coefficients de signe opposé (+1/3 et –1/3).
La somme S de tous ces coefficients est donc égale au nombre obtenu en sommant uniquement les segments qui bordent le grand triangle.

Il y a 4 configurations possibles pour les petits triangles :
-pour ABC dans le sens trigonométrique, la somme des coefficients donne +1/3+1/3+1/3=1 et c’est un point marqué pour joueur 2
-pour ABC dans le sens des aiguilles d’une montre, la somme des coefficients donne –1/3-1/3-1/3=-1 et c'est un point marqué pour joueur 1 autrement dit un point perdu pour joueur 2
-pour un triangle avec 3 lettres identiques, la somme des coefficients donne 0+0+0=0
-pour un triangle avec 2 lettres identiques et une troisième lettre différente, la somme des coefficients donne +1/3-1/3+0=0

La somme S de toutes ces valeurs correspond au score supplémentaire de joueur 2 par rapport à joueur 1.

A ce stade, il faudrait finir la conclusion de la même manière que GaBuZoMeu, c'est à dire :
Sur le grand coté AB, et en partant de A vers B, on sait qu’il n’y a que les lettres A et B.
On rencontre donc le coefficient +1/3 si on passe d’un sommet A à un sommet B, le coefficient –1/3 si l’on passe de B à A et 0 s’il s’agit de AA ou de BB. La somme de ces coefficients vaut +1/3.

Le raisonnement est similaire pour les 2 autres grands cotés donc S=+1/3+1/3+1/3=1.