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par **carzou** » 14 Oct 2010, 11:18

Bonjour

Je ne sais pas si c'est la bonne rubrique pour poster cette question mais j'ai un probleme (réel) de stats.

Je dispose d'un large échantillon de données qui me donnent la valeur d'une variable x, en fonction de différents parametres a,b,c ....

Je souhaite trouver la meilleure 'approximation' de la fonction f telle que x=f(a,b,c ...).

Je peux assez facilement trouver des fonctions à une seule variable, en ne faisant varier qu'un parametre et en fixant tous les autres, x=g(a), puis x=h(b) etc ...

Ces fonctions g et h peuvent elles m'aider à trouver une fonction f 'correcte' ?

Sinon quelle est la bonne marche à suivre ?

Merci de votre aide

par **Ben314** » 14 Oct 2010, 12:35

Salut,
J'y connais pas gras du tout, mais je pense qu'au fond, c'est le même problème qu'avec des données ne dépendant que d'un seul paramètre : il faut absolument avoir une idée au départ du "type" de formule que l'on désire obtenir.
Dans l'absolu, étant donné n points (xi,yi) du plan, il passe une trés trés grosse infinité de fonctions EXACTEMENT par ces n points donc lorsque l'on veut "approximer" il faut fixer assez précisément le type de fonction par lequel on approxime.
Le "cas d'école" est l'approximation par une droite y=ax+b : on cherche le a et le b tel que la droite soit le "plus proche possible" (en général au sens des moindres carrés) des points. Si on pense que la "formule théorique" est exponentielle, alors on cherche y de la forme y=a.exp(b.x) toujours avec a et b tels que "ça passe au plus prés".

Avec n variables, à mon avis, c'est la même chose. Si tes variables sont a,b,c,... et le résultat est x, tu peut chercher par exemple une fonction affine, c'est à dire de la forme x=?+?.a+?.b+?.c+... où les ? sont des constantes que l'on calcule de façon à ce que la fonction soit "le plus proche possible" des valeurs réellement obtenues.
Tu peut évidement chercher avec d'autres types de fonctions et, à mon avis, avanrt de faire des calculs, il vaut mieus avoir une petite idée du lien "théorique" qu'il y a entre les variables et le résultat...

par **windows7** » 14 Oct 2010, 13:03

salut,

pour revenir sur ce que dit ben par exemple pour les moindres carrées il s'agit de minimiser la fonctionelle f(a,b) somme (yi-(axi+b))². Si tu veux montre l'existence de tel a,b il faut remarquer que f est une fonction convexe definie sur un convexe.
ensuite verifie que f est derivable au sens de frechet et utilise des conditions suffisantes d'optmimalité. comme tu l'as compris les mots d'odre seront convexité et compacité.
tu peux nous en dire plus sur ton pb?

par **carzou** » 14 Oct 2010, 13:46

Merci pour vos réponses.

Ben : j'ai une idée sur le lien théorique, et les fonctions sont à mon avis plutôt des fonctions carrées que des droites,
style y = ax²+bx+c.

Donc si j'ai 3 parametres (x1,x2,x3) je cherche

y = a1.x1²+b1.x1 + a2.x2²+b2.x2 + a3.x3²+b3.x3 + c

pour trouver mes 7 coeff, je dois donc minimiser

Somme( yi - (a1.xi1²+b1.xi1+a2.xi2²+b2.xi2+a3.xi3²+b3.xi3+c))²

Le calcul est il 'simple' à faire ? il doit y avoir des matrices la dessous ...

Windows : Sans rentrer trop dans le detail, j'etudie des parties de poker, et cherche une relation entre le comportement d'un joueur et les différents parametres du jeu au moment où il agit.

par **Ben314** » 14 Oct 2010, 14:59

carzou a écrit:Merci pour vos réponses.

Ben : j'ai une idée sur le lien théorique, et les fonctions sont à mon avis plutôt des fonctions carrées que des droites,
style y = ax²+bx+c.

Donc si j'ai 3 parametres (x1,x2,x3) je cherche

y = a1.x1²+b1.x1 + a2.x2²+b2.x2 + a3.x3²+b3.x3 + c

pour trouver mes 7 coeff, je dois donc minimiser

Somme( yi - (a1.xi1²+b1.xi1+a2.xi2²+b2.xi2+a3.xi3²+b3.xi3+c))²

Le calcul est il 'simple' à faire ? il doit y avoir des matrices la dessous ...

Windows : Sans rentrer trop dans le detail, j'etudie des parties de poker, et cherche une relation entre le comportement d'un joueur et les différents parametres du jeu au moment où il agit.

Bon, tout d'abord, à ta place, vu que tu pense que c'est "en x²" je pense que dans la formule "théorique"
y = a1.x1²+b1.x1 + a2.x2²+b2.x2 + a3.x3²+b3.x3 + c
je rajouterais les "produits mixtes", c'est à dire +d.x1.x2+e.x2.x3+f.x3.x1 ce qui rend la formule mathématiquement plus "homogène" (la partie a1.x1²+a2.x2²+a3.x3²+d.x1.x2+e.x2.x3+f.x3.x1 correspond à ce que l'on appelle en math une forme quadratique )
Ensuite, ta somme "à minimiser" :
Somme( yi - (a1.xi1²+b1.xi1+a2.xi2²+b2.xi2+a3.xi3²+b3.xi3+c+d.x1.x2+e.x2.x3+f.x3.x1))² , si tu la développe s'écrit sous la forme
Som(yi²)-2*a1.Som(xi1²yi)+a1²·Som(xi1^4)+2a1b1.Som(xi1^3)+...
Et toutes les sommes sont calculables vu que tu connait les xi et les yi.
Il te reste à trouver a1,a2,... qui rend la somme minimale. Comme les variables apparaissent au plus au carré, tu peut utiliser la "réduction de Gauss" qui consiste à faire comme pour la forme canonique des équations du second degrés, c'est à dire à "faire apparaitre des identités remarquables" pour arriver à écrire ta somme sous la forme
Cst+(...)²+(...)²+ . . . +(...)².
Bien évidement, ta somme sera minimale lorsque tout les carrés seront nuls.

par **carzou** » 14 Oct 2010, 15:52

OK , vais tester
Merci

par **windows7** » 15 Oct 2010, 08:59

t'aimes pas ma solution ben, ou juste moi ?

par **Ben314** » 15 Oct 2010, 11:26

windows7 a écrit:t'aimes pas ma solution ben, ou juste moi ?

En ce qui me concerne, c'est pas que "j'aime pas", c'est uniquement que je voulais rester le plus élémentaire possible donc pour minimiser le ?+?a1+?a1²+?a1a2+... je préférais une "mise sous forme canonique" qui est, dans le principe, niveau lycée plutôt que le calcul des dérivées partielles qui demande un peu plus de connaissances...

par **windows7** » 15 Oct 2010, 17:45

jte fais la remarque parce que j'ai l'impression que tu m'appreci vraiment mais alors vraiment pas, ma foi c'est qu'un forum ..

par **Ben314** » 15 Oct 2010, 17:56

windows7 a écrit:jte fais la remarque parce que j'ai l'impression que tu m'appreci vraiment mais alors vraiment pas, ma foi c'est qu'un forum ..

Alors là, je suis passablement surpris : si je t'ai donné cette impression, c'est totalement involontairement et il me semble qu'il y a beaucoup de tes interventions que j'ai fortement apprécié (je l'ai pas forcément écrit en super gros, c'est pas trop dans mon caractère).
En plus, quand je dit ça, c'est pas juste pour faire le "gentil" : il y a effectivement quelques intervenant (principalement deux...) sur le forum dont le comportement me cassent un peu les b..... mais tu n'en fait pas parti (ni même Beagle dont les opinions politiques sont à peu prés à l'opposé des miennes mais que j'apprécie beaucoup lorsque l'on ne parle que de math...)

Donc je le redit, je m'excuse platement si je t'ai donné l'impression de "ne pas t'apprécier" : c'était totalement involontaire

par **windows7** » 15 Oct 2010, 18:03

lol excuse moi alors de t'avoir fais une quasi scene de menage, je me suis mépris pour rien

par **ffpower** » 15 Oct 2010, 18:05

Ben314 a écrit:il y a effectivement quelques intervenant (principalement deux...) sur le forum dont le comportement me cassent un peu les b.....

On veut des noms!! :bad:
(sauf si j'en fais partie^^)

par **Ben314** » 15 Oct 2010, 21:02

ffpower a écrit:On veut des noms!! :bad:
(sauf si j'en fais partie^^)

QUE DALLE !!! (mais tu n'en fait pas parti... ça t'étonne ?)

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