Spirale à segments

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
azf

spirale à segments

par azf » 07 Sep 2021, 22:34

Bonjour

Soit le rayon d'un cercle circonscrit au pentagone régulier convexe

On considère la spirale à segments en rouge sur la figure

Celle-ci est constituée d'une infinité de segments et elle est de longueur finie (ça se démontre)

1. Exprimer le rayon du cercle en fonction de la longueur de la spirale

Je trouve la formule jolie car elle est simple à écrire mais c'est à vous de la découvrir

Image



Vassillia

Re: spirale à segments

par Vassillia » 08 Sep 2021, 02:27

Bonjour azf, je participe mais je n'aime pas trop les calculs à rallonge or je sais que toi oui.

On va utiliser le nombre d'or
Je vais noter pour la longueur des cotés et pour la longueur des diagonales pour le ième pentagone inscrit au cercle
et
donc longueur de spirale utile =
et
donc longueur de spirale utile =
et
donc longueur de spirale utile =
et
donc longueur de spirale utile =
...
Au final longueur spirale =

avec

Possible que je me sois loupée dans les calculs, je n'ai pas vérifié, il est tard, désolée
Modifié en dernier par Vassillia le 08 Sep 2021, 02:57, modifié 1 fois.

azf

Re: spirale à segments

par azf » 08 Sep 2021, 02:55

Bonjour Vassillia

Merci pour votre participation (et votre rapidité qui me stupéfait beaucoup)

Il faut effectivement (pour se simplifier la vie) utiliser le sujet "nombre d'or"

La solution (une manière de l'écrire avant de la simplifier encore mieux )



Voici ci-dessous une piste qui permet d'aboutir à ce résultat

Si on considère une famille définie par











Avec

Alors on vérifie





et on rappelle ici que pour la notation du nombre d'or



on a

longueur du premier segment

longueur du deuxième segment

longueur du troisième segment

longueur du quatrième segment

Vassillia

Re: spirale à segments

par Vassillia » 08 Sep 2021, 03:02

Ah ben il y avait plus simple alors comme formulation, je vais te faire confiance sur les calculs pour ce soir, ce qui était amusant, c'est de voir le nombre d'or vraiment partout.

azf

Re: spirale à segments

par azf » 08 Sep 2021, 03:04

Bonne nuit Vassillia et encore merci

azf

Re: spirale à segments

par azf » 11 Sep 2021, 06:52

Bah maintenant qu'on a les segments je pourrais peut être utiliser la trigonométrie

C'est marrant c'était ce que je voulais faire pour ce sujet et après je me suis dit bon ok
on commence par ça et après on verra

Remarquez je sais pas du tout ce que ça va donner, je ne suis pas plus devin que chimiste
L'idée n'est pas de moi mais celle d'un mathématicien de nationalité turque (je ne suis pas mathématicien non plus, pas plus que je suis turque chinois ou japonais)
Faut que je retrouve son nom (je ne vois pas son site pourtant il en a un)

Faut que je termine un bidule avant (sur la rubrique d'à côté)....

azf

Re: spirale à segments

par azf » 13 Sep 2021, 07:38

azf a écrit: L'idée n'est pas de moi mais celle d'un mathématicien de nationalité turque
Faut que je retrouve son nom (je ne vois pas son site pourtant il en a un)


Je le retrouverais mais j'ai l'impression que son site est fermé car même en faisant recherche Google je ne retrouve plus son site
Les évangiles disent (en relation avec l'ancien testament) :
Le porte lampe n'éclaire jamais (c'est pas son rôle)

Tôt ou tard je retrouverai son nom (en attendant ce sujet est clos)

Normal ça c'est comme 1+1=2

azf

Re: spirale à segments

par azf » 19 Oct 2021, 22:22

NB: À ce propos avec ces segments ci-dessous dans la vidéo une "jolie" approximation de e

https://www.youtube.com/watch?v=3DLwX0fHQNo

C'est une approximation avec l'empan de la quine des maçons (qui commence avec la longueur B dans la vidéo)

 

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