La spirale des racines carrées

[nodgim]

Bonsoir à tous.
Tout le monde ici connait la construction géométrique des racines carrées des nombres entiers: Si on colle perpendiculairement à l'extrémité d'un segment de longueur racine carrée d'un entier N, l'extrémité d'un segment de longueur unité, l'hypothénuse du triangle rectangle ainsi formé aura pour longueur celle de la racine carrée de l'entier N+1. En réitérant l'opération à partir de l'hypothénuse, on construit un nouveau segment qui aura la longueur de la racine carrée de l'entier N+2. Au bout de plusieurs itérations, on obtient une spirale. Quelle est la largeur du couloir de cette spirale ?

[Nightmare]

Bonsoir,

je ne comprends pas ce que tu désignes ici par la largeur du couloir de cette spirale...

[nodgim]

Bonsoir,

je ne comprends pas ce que tu désignes ici par la largeur du couloir de cette spirale...

La spirale se construit autour d'un centre. Si l'on trace un rayon, celui ci rencontre toutes les spires. 2 points de rencontres successifs déterminent une largeur entre 2 spires. C'est la dimension de cette largeur que je demande.
Bon courage.

PS: pas long à résoudre. Une seule équation. Niveau Terminale. :id:

[Nightmare]

C'est toujours 1 non? Ou alors je n'ai toujours pas compris !!

[Imod]

Je ne dois pas avoir compris moi non plus ou le centre n'est pas le bon : les deux segments rouges n'ont pas la même taille :doh:


Imod

[nodgim]

Je ne dois pas avoir compris moi non plus ou le centre n'est pas le bon : les deux segments rouges n'ont pas la même taille :doh:


Imod

Merci Imod; c'est bien le bon dessin. :we:, sauf que bien entendu on ne dessine qu'un seul rayon, et ce qui m'intéresse c'est la distance, sur ce rayon, entre 2 spires successives.
Une précision: les premières spires ne sont pas significatives, il faut raisonner avec des nombres plus grands. Ce que je demande, c'est s'il existe une limite de largeur entre les spires, et si oui laquelle.

[scelerat]

Avec le dessin, il semble que soit effectivement constant. Ce qui donnerait une piste pour resoudre le probleme puisque ce serait approximativement une spirale et qu'a l'infini on a et .
Je propose donc une largeur de .

[nodgim]

Avec le dessin, il semble que soit effectivement constant. Ce qui donnerait une piste pour resoudre le probleme puisque ce serait approximativement une spirale et qu'a l'infini on a et .
Je propose donc une largeur de .

Oui! je suis arrivé à la même conclusion. :we:

[scelerat]

Oui! je suis arrivé à la même conclusion. :we:

Avec un double-decimetre et son dessin, Imod aurait du y parvenir aussi ! :ptdr:

[Imod]

C'est vrai que j'aurais pu le démontrer avec mon double-décimètre ou dire que ça se voit sur le dessin mais on m'a toujours dit que c'était mal :cry:

Imod

[nuage]

Salut,

La spirale se construit autour d'un centre. Si l'on trace un rayon, celui ci rencontre toutes les spires. 2 points de rencontres successifs déterminent une largeur entre 2 spires. C'est la dimension de cette largeur que je demande.
Bon courage.

PS: pas long à résoudre. Une seule équation. Niveau Terminale. :id:

Est ce qu'on peut voir ta solution ?
Elle m'intéresse (si ce n'est pas du genre : on voit sur le dessin...)

[nodgim]

Salut,

Est ce qu'on peut voir ta solution ?
Elle m'intéresse (si ce n'est pas du genre : on voit sur le dessin...)

Scélérat l'a donnée.
Il faut juste regarder le dR différentiel du rayon rac(R+1)-racR par rapport au différentiel de l'angle da, assimilé au différentiel de la tangente quand l'angle devient petit. da=d tg a= 1/racR
dR=(R+1)^1/2 -R^1/2
(R+1)^1/2=R^1/2(1+1/R)^1/2=R^1/2 (1+2/R) quand 1 petit devant R
dR=R^1/2(1+2/R-1)=R^1/2*2/R=2/racR
dR/da=1/2
En intégrant sur un tour complet, on obtient PI.

[nuage]

Oui, ça je l'avais déjà fait.

Calculer une différentielle sur un ensemble discret est certes une méthode heuristique valable.

Mais ce n'est pas une démonstration.

[Imod]

Scélérat l'a donnée.
Il faut juste regarder le dR différentiel du rayon rac(R+1)-racR par rapport au différentiel de l'angle da, assimilé au différentiel de la tangente quand l'angle devient petit. da=d tg a= 1/racR
dR=(R+1)^1/2 -R^1/2
(R+1)^1/2=R^1/2(1+1/R)^1/2=R^1/2 (1+2/R) quand 1 petit devant R
dR=R^1/2(1+2/R-1)=R^1/2*2/R=2/racR
dR/da=1/2
En intégrant sur un tour complet, on obtient PI.

Nos terminaux sont devenus très doués , et on dit que le niveau baisse :we:

Pour moi ce n'est absolument pas une justification mais seulement une mauvaise cuisine qui me dégoûte , mais bon , à chacun ses goûts :we:

Imod

[nuage]

Nos terminaux sont devenus très doués , et on dit que le niveau baisse :we:

Pour moi ce n'est absolument pas une justification mais seulement une mauvaise cuisine qui me dégoûte , mais bon , à chacun ses goûts :we:

Imod

Je ne suis pas d'accord : la > de nogidim n'a pas de valeur mathématique, je crois que nous sommes d'accord sur ce point.
Mais elle permet de trouver la réponse.
Il ne reste plus qu'a la justifier.
J'espère que l'un ou l'autre de nos jeunes mathématiciens va le faire. Et de façon rigoureuse.
Après tout c'est du niveau terminale, pour citer nogidim.

[Doraki]

Soit

avec quelques DLs on peut dire que
Et en déduire que est convergente.

A partir de là c'est facile de montrer que la largeur de la spirale tend effectivement vers

Mais bon c'est pas un raisonnement très accessible aux élèves de terminale.

[nodgim]

Je veux bien accepter la critique, mais j'aimerais la comprendre. :doh:
Je précise avoir un niveau Terminale (1976) , pas au delà.

[Imod]

Je ne suis pas d'accord : la > de nodgim n'a pas de valeur mathématique, je crois que nous sommes d'accord sur ce point.Mais elle permet de trouver la réponse. Il ne reste plus qu'a la justifier.

La méthode permet de trouver le bon résultat donc elle est valable , le type même d'affirmation qui m'a irrémédiablement faché avec la physique . D'autre part je doute que les différentielles soient enseignées au lycée mais je suis au collège depuis si longtemps ....

Imod