Somme ou produit déterminant un couple de nombres...

[Lemniscate]

Bonjour,

Je suis en train de caler depuis quelques temps sur un petit problème que j'ai trouvé sur un prospectus de la ffjm (fédération française des jeux mathématiques).

En gros, j'ai besoin d'aide sur ce genre d'énoncé, qui n'est pas celui que j'ai, mais qui est proche :

Dans un immeuble, habitent deux mathématiciens, Pierre et Serge. La concierge, facétieuse, ne pense qu'à les coller. Un jour que les deux hommes descendent l'escalier, elle les aborde d'un air malicieux:
"Voici la somme des âges des deux filles de mon amie Gloria, dit-elle à Serge en lui tendant un morceau de papier. Voici le produit, continue-t-elle en tendant une feuille à Pierre. Devinez leurs âges."
_"Le produit ne me suffit pas", répond Pierre.
_"Et vous, Monsieur Serge?"
_"Je ne peux le dire, moi non plus."
_"Vous me décevez, Messieurs."
_"Mais je peux donner leurs âges, maintenant", rétorque Pierre.
Quels sont les âges des deux filles de Gloria?

J'ai pensé à la décomposition unique en produit de nombres premiers.

En fait si a<b désignent les âges des deux gamines,

Le produit a.b détermine a et b si (a=1 et b premier) ou si (a et b premiers) ou si ( où p premier et k entre 1 et 4 inclus).

Si a et b sont premiers et 2<a<b alors a+b est pair.

Si a.b est impair alors a et b impairs alors a+b paire.

Voilà, j'ai fait un tableau avec 10 colonnes(pour b) et 10 lignes(pour a), triangulaire supérieur strict (car a<b, et je suppose que les fillettes ont moins de 10 ans)) et j'ai biffé les produits et les sommes qui apparaissent au moins deux fois, mais je bloque complètement...

J'ai aussi pensé à a et b sont racines de X²-(a+b).X+a.b, avec un tableau qui a a.b et a+b comme entrées, mais je ne m'en sors pas, cela revenant au même...

Surtout que dans l'énoncé que j'ai réellement, a et b varient entre 1 et 100 et l'énoncé est bien plus alambiqué !

Si vous aviez une idée pour avancer, ou me dire si j'ai loupé des choses "évidentes", je vous en serais très reconnaissant ).

A bientôt !

P.S. : Ce problème est censé être niveau licence/prépa ...

[fatal_error]

salut,

en supposant que les deux sont malins :
le premier a le choix entre plusieurs decomposition.
le second elimine alors tous les couples qui n'ont qu'une seule decomposition de produit possible. Il a alors le choix entre plusieurs decompositions de somme. Le premier connait toutes les sommes possibles pour son produit.

En faisant une petite table : a gauche des deux points correspond le produit, a droite des deux points, dans les parenthèse le couple somme, et a droite de la parenthèse fermante la somme du couple. Ne figurent que les couples dont les deux ages sont inférieurs à 10 et possèdent plusieurs decompositions en facteur.

4:(1,4)5,(2,2)4
6:(1,6)7,(2;3)5
8:(1,8)9,(2,4)6
9:(1,9)10,(3,3)6
10:(1,10)11,(2,5)7

Quand Serge repond, s'il hésite, c'est a cause de (2,5) et (1,6) ou bien (2,3) et (1,4)
Comme Serge hésite, Pierre sait qu'il s'agit d'un des deux couples. Il peut donc le déduire en fonction de celui que lui a donné la GM.

Bon, ici mettons que c'est (6,10) parce qu'a 1 an c'est pas une fillette? :marteau:

Edit : petite erreur d'addition :cry: . Du coup ya aussi le double couple (2,4)(3,3). Mettons que c'est pas encore des fillettes...

[Imod]

En fait c'est uniquement de la logique .

Si on accepte une fille de 1 an ( et je ne vois pas pourquoi il faudrait l'exclure ) l'unique réponse est 4 ans et un an .

Imod

[nodjim]

C'est assez connu ce truc, maintenant. C'est même un peu usé..

[Imod]

C'est assez connu ce truc, maintenant. C'est même un peu usé..

Il faut quand même faire attention , il y a plusieurs variantes avec des textes très proches mais des solutions très différentes .

Imod

[Lemniscate]

C'est assez connu ce truc, maintenant. C'est même un peu usé..

Oui enfin si on ne l'a jamais vu...

[Lemniscate]

Merci pour vos réponses.

En fait c'est uniquement de la logique .

Si on accepte une fille de 1 an ( et je ne vois pas pourquoi il faudrait l'exclure ) l'unique réponse est 4 ans et un an .

Imod

Alors j'ai refait un tableau 10x10 triangulaire supérieur (plus petit nombre a inférieur OU EGAL au plus grand nombre b).

Je trouve, avec la même syntaxe que fatal_error (Produit : (couple1) "somme1"; (couple2) "somme 2") en ne mettant que les produit qui ont au moins deux décompositions :

4 : (1,4) "5"; (2,2) "4"
6 : (1,6) "7"; (2,3) "5"
8 : (1,8) "9"; (2,4) "6"
9 : (1,9) "10"; (3,3) "6"
10 : (1,10) "11"; (2,5) "7"
12 : (2,6) "8"; (3,4) "7"
16 : (2,8) "10"; (4,4) "8"
18 : (2,9) "11"; (3,6) "9"
20 : (2,10) "12; (4,5) "9"
24 : (3,8) "11"; (4,6) "10"
30 : (3,10) "13"; (5,6) "11"
36 : (4,9) "13"; (6,6) "12"
40 : (4,10) "14"; (5,8) "13"

Pierre hésite, donc il a sur son petit papier un des produits ci dessus.

J'ai mis en rouge les sommes sur lesquelles Serge ne peut pas hésiter en sachant que Pierre a hésité, c-à-d uniquement 4(=2+2) et 14 ici.
Et puis la somme 14 a plusieurs décompositions en somme dont le produit est "hésitable" si on prolonge le tableau (on enlève ma contrainte, qui n'est pas dans l'énoncé, d'inférieur ou égal à 10 dans ce cas)

Donc on sait que Pierre voit l'hésitation de Serge et ALORS il connaît la bonne décomposition.

Cette dernière assertion signfie qu'il a pu trancher grâce à l'hésitation de Serge, donc forcément Pierre ne peut avoir que 4 comme produit, vu que les autres produits ci dessus ont leur deux décompositions "hésitables" pour Serge.

Reste à savoir s'il s'agit de (1,4) ou de (2,2).

Et ça ne peut être que (1,4), comme Serge a hésité.

Mais si on ajoute la contrainte de nombres tous deux inférieurs ou égaux à 10, (5,8) est une autre possibilité non ?

Effectivement, c'est de la logique.

Je vais donc me remettre sur le problème qui m'occupe, à l'énoncé analogue mais plus alambiqué, je verrai si j'y arrive seul maintenant que j'ai fait ce problème un peu plus simple...