Somme d'entier successif

[guigui51250]

Salut, un petit problème :

Montrer que tout entier naturel supérieur à 3 peut s'écrire comme une somme d'entier successif sauf les puissances de 2

Je crois déja avoir vu un exo de ce genre mais je ne le retrouve pu alors je poste mon exo ^^
C'est un problème résolu en spé donc le niveau est lycéens mais j'ai préféré poster cette exercice dans la partie Olympiade car, en cours, l'exercice à été résolu mais en plusieurs étapes (questions intermédiaires pour guider le résultat). Si toute fois un modérateur pense que mon exercice n'a pas sa place ici, qu'il le déplace dans la partie Lycée.

Bonne chance

[Zweig]

Salut,

Cela revient à montrer que pour tout entier , il existe des entiers et tels que :

Cette relation équivaut à :

Maintenant, si est une puissance de 2, alors le nombre n'admet aucun diviseur impair. Or si est pair, alors est impair et divise , impossible. De même, si est impair, alors est impair et divise . Impossible aussi, donc n'est pas une puissance de 2, c'est-à-dire est de la forme , avec non nul.

Il suffit dans ce cas là de prendre et

[nodgim]

Ben, il est pas très dur celui là :happy2:
Soit N, le premier nombre d'une série, et k le cardinal de la série. La somme est k(2N+k-1)/2.
Il n'y a alors qu'à discuter la parité de l'expression.

[guigui51250]

Ah c'est ce que j'avais fait en cours mais avec les questions intermédiaires c'était plus long...