Somme des chiffres

[fabdu92]

Bonjour,

Je sais plus si on voit ça à l'école (ça remonte loin :mur: ), mais j'ai eu une idée, et pour cela j'ai besoin de démontrer que:
Quelque soit n dans N
la somme des chiffres de n et de n+9 avec répétition tant que > 9 donnera le même résultat.

Concrétement sur un exemple:

Si n= 14 => 1+4 = 5
n+9 = 23 => 2+3 = 5

Un autre:
Si n = 897 => 8+9+7 = 24 => 2+4 = 6
n+9 = 906 => 9+0+6 = 15 => 1+5 = 6



Y'a t-il une démonstration à cela?

Merci :lol3:

[Ben314]

Salut,
Oui, il y a une preuve très simple et qui montre même un résultat plus "fort" qui servait (dans le temps...) à faire ce que l'on appelais "La preuve par 9"

Quelque soit l'entier N, si on calcule la somme S de ces chiffres, les nombres N et S ont le même reste de division par 9

Comme je sais pas trop quel est ton bagage en math, je te donne la preuve uniquement sur un exemple (mais la même preuve fonctionne quelque soit N) :
Si par exemple N=35486 alors S=3+5+4+8+6 et on a :
N-S = (3x10000+5x1000+4x100+8x10+6) - (3+5+4+8+6)
=3x(10000-1) + 5x(1000-1) + 4x(100-1) + 8x(10-1) + 6x(1-1)
=3x9999 + 5x999 + 4x99 + 8x9
qui est clairement un multiple de 9 vu que 9, 99, 999, 9999 sont des multiples de 9.

Dans le cas qui t'intéresse, tu calcule la somme S des chiffres d'un nombre N et la somme S' des chiffres de N'=N+9 :
1) S a le même reste de division par 9 que N (théorème çi dessus)
2) N a évidement le même reste de division par 9 que N'=N+9
3) N' a le même reste de division par 9 que S' (théorème çi dessus)
DONC S et S' ont le même reste de division par 9.

Mais ils ne sont pas forcément égaux, par exemple, si N=67999 alors S=40 mais N'=N+9=68008 et S'=22
Après, si tu continue à faire les sommes des chiffres de S (donc 40 -> 4+0=4) et de S' (22 -> 2+2=4) puis que tu recommence si nécessaire, tu tombera sur le même nombre à la fin, ce nombre étant... le reste de la division de N (et de N+9) par 9...