Sommation de Cesàro-Cantor

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Ben314
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Sommation de Cesàro-Cantor

par Ben314 » 10 Déc 2014, 18:27

Salut,
Suite a la lecture du post. du café mathématique sur 1+2+3+... qui parle (vaguement) de somme de Cesàro, un petite énigmouillette à deux rond...

Partant d'une suite de réels, on peut considérer la suite de Cesàro associée à qui est la suite et tout le monde sait que, si la suite tend vers une limite finie alors la suite tend aussi vers .
Bon, évidement, si la suite n'est toujours pas convergente, on peut essayer de recommencer et de considérer la suite .
Et si elle n'est toujours pas convergente, ben... on peut considérer qu'on va noter pour simplifier puis, éventuellement, recommencer et... encore recommencer...

Si quelque soit le nombre (fini) d'étapes, ça ne marche toujours pas, on peut tenter une infinité d'étapes en plagiant l'idée de Cantor et en considérant la "suite de Cesàro-Cantor" où, pour tout , est le -ième terme de la suite .

Si au départ la suite est convergente, la suite est-elle convergente ? si oui, quelle est sa limite ?
Modifié en dernier par Ben314 le 04 Déc 2016, 04:29, modifié 1 fois.
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Monsieur23
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par Monsieur23 » 11 Déc 2014, 21:42

Aloha,

J'ai pas le temps d'y réfléchir, mais ça a l'air cool :we:
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

Luc
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par Luc » 11 Déc 2014, 23:25

Super question!

Je pense que converge vers :we:

On peut montrer par récurrence sur l'entier la propriété est un barycentre à poids positifs des premiers termes de la suite . avec les et

Le truc c'est que les coefficients dépendent de et j'ai l'impression que se rapproche très vite de 1 et écrase toutes les autres contributions...

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Ben314
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par Ben314 » 12 Déc 2014, 10:31

C'est celà même...
Donc, en fait, on a affaire à un super procédé qui arrive a attribuer une "limite" a toute suite bornée, et même a certaines suites non bornées.
Bon, O.K. la limite n'est peut-être pas ce qu'il y a de plus interseesante...

Après, il manque quand même... une preuve... :ptdr:

EDIT : (et là, j'ai pas la réponse), et il faut aller chercher environ le combien-ième coeff. de la n-ième suite pour que ça commence a tendre vers autre chose que U1 ?
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Luc
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par Luc » 12 Déc 2014, 11:56

Ben314 a écrit:C'est celà même...
Donc, en fait, on a affaire à un super procédé qui arrive a attribuer une "limite" a toute suite bornée, et même a certaines suites non bornées.
Bon, O.K. la limite n'est peut-être pas ce qu'il y a de plus interseesante...

Après, il manque quand même... une preuve... :ptdr:

EDIT : (et là, j'ai pas la réponse), et il faut aller chercher environ le combien-ième coeff. de la n-ième suite pour que ça commence a tendre vers autre chose que U1 ?


Et a-t-on une idée de la vitesse de convergence de vers ?

Luc
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par Luc » 12 Déc 2014, 12:30

Ben314 a écrit:
Si au départ la suite est convergente, la suite est-elle convergente ? si oui, quelle est sa limite ?


Même question si on remplace les poids de Cesàro uniformes par d'autres poids, par exemple :
- les poids binomiaux , normalisés par
- les poids en "triangle" , normalisés par
- des poids généraux positifs de somme 1


Je n'ai pas la réponse...

Luc
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par Luc » 12 Déc 2014, 13:59

J'ai fait un petit code c++ qui calcule les N premiers terme de la suite de Cesaro Cantor associée à une suite arbitraire, par exemple dont les termes sont des nombres aléatoires entre 1 et 100.

On observe une convergence très rapide de vers

Remarques :
- La complexité du calcul de est en , je ne pense pas qu'on puisse faire mieux.
- C'est sûrement mal optimisé en mémoire (d'ailleurs j'avais des bugs d'allocation mémoire)
- On peut facilement changer le code de Cesaro pour faire des poids variables
- Si on part d'une suite U=(1,0,0,...) on accède à .


Voici la sortie d'une exécution typique
i: 0 U[i]: 84 Z[i] :84
i: 1 U[i]: 87 Z[i] :85.5
i: 2 U[i]: 78 Z[i] :84.1667
i: 3 U[i]: 16 Z[i] :83.151
i: 4 U[i]: 94 Z[i] :83.5949
i: 5 U[i]: 36 Z[i] :83.8585
i: 6 U[i]: 87 Z[i] :83.9828
i: 7 U[i]: 93 Z[i] :84.026
i: 8 U[i]: 50 Z[i] :84.0327
i: 9 U[i]: 22 Z[i] :84.0267
i: 10 U[i]: 63 Z[i] :84.0185
i: 11 U[i]: 28 Z[i] :84.0117
i: 12 U[i]: 91 Z[i] :84.0071
i: 13 U[i]: 60 Z[i] :84.0041
i: 14 U[i]: 64 Z[i] :84.0023
i: 15 U[i]: 27 Z[i] :84.0013
i: 16 U[i]: 41 Z[i] :84.0007
i: 17 U[i]: 27 Z[i] :84.0004
i: 18 U[i]: 73 Z[i] :84.0002
i: 19 U[i]: 37 Z[i] :84.0001
i: 20 U[i]: 12 Z[i] :84.0001
i: 21 U[i]: 69 Z[i] :84
i: 22 U[i]: 68 Z[i] :84
i: 23 U[i]: 30 Z[i] :84
i: 24 U[i]: 83 Z[i] :84
i: 25 U[i]: 31 Z[i] :84
i: 26 U[i]: 63 Z[i] :84
i: 27 U[i]: 24 Z[i] :84
i: 28 U[i]: 68 Z[i] :84
i: 29 U[i]: 36 Z[i] :84
i: 30 U[i]: 30 Z[i] :84

Code: Tout sélectionner
 #include
#include
#include
#include 
using namespace std;

   // sommation de Cesaro cantor
   void cesaro(double *U, double *V,int N) // calcule les N premiers termes de la suite de Cesaro, et les stocke dans V
{
   for(int i=0; i<N; i++) // initialise V[i]
   {
      V[i]=0;
   }
   for(int i=0; i<N; i++) // calcule V[i]
   {
      for(int j=0; j<i+1; j++) // somme pondérée des j premiers termes de U
      {
         V[i]+=1./(i+1)*U[j];
      }
   }
   
}

void cesaro_cantor(double *U, double *V,int N) // calcule les N premiers termes de la suite de Cesaro Cantor de U, et les stocke dans V
{

   // déclaration
   double *A=new double[N*N]; // stocke les N premiers termes des N-1 premiers itérés de Cesaro de U
   double *B=new double[N]; // ligne courante de A;
   double *D=new double[N]; // ligne suivante de A;
   
   // initialisation
   for(int i=0; i<N; i++)
   {
      B[i]=0;
      D[i]=0;
      
      for(int j=0;j<N;j++)
         {
            A[N*i+j]=0; // A[N*i+j] est le (j+1)ème terme du ième itéré de Cesaro de U.
         }
   }
   
   for(int i=0; i<N; i++) // calcule le ième itéré de Cesaro de U (la ième ligne de A) en fonction des précédents
   {
      if(i==0)
      {
         std::cout << "Première ligne de A" << std::endl;
         for(int j=0; j<N; j++)
         {
            A[j]=U[j]; // initialisation de la récurrence
            std::cout << "j: "<< j << '\t' << "A[j]: " << A[j] << std::endl;
         }
      }
         
      else
      {
         for(int j=0; j<N; j++)
         {
            A[j]=U[j]; // initialisation de la récurrence
            std::cout << "j: "<< j << '\t' << "A[j]: " << A[j] << std::endl;
         }
         std::cout << "i: " << i << std::endl;
         for(int j=0; j<N;j++)
         {
            std::cout << " A[i,j] " << A[N*(i-1)+j] << std::endl;
            B[j]=A[N*(i-1)+j]; // ligne courante de A
         }
         cesaro(B, D, N); // calcul de la ligne suivante de A, hérédité
         for(int j=0; j<N; j++)
         {
            std::cout << "j: "<< j << '\t' << "B[j]: " << B[j] << std::endl;
         }
      }
      for(int j=0; j<N; j++) // recopie de la ligne suivante de A
      {
         A[i*N+j]=D[j];
      }   
   }
   
   for(int i=0; i<N; i++) // calcul de Zn, la suite de Cesaro Cantor de U
   {
      V[i]=A[i*N+i];
   }

   for(int i=0; i<N;i++)
   {
      for(int j=0; j<N; j++)
      {
         std::cout << A[i*N+j] << '\t';
      }
      std::cout << std::endl;
   }

      std::cout << std::endl;
}

int main()
{
   int N=100;
double   *U=new double[N];
double   *V=new double[N];

   for(int i=0; i<N; i++) // initialisation
   {
      U[i]=rand()%100+1;
      V[i]=0;
   }
   cesaro_cantor(U,V,N); // calcul de V
   
   // affichage
   for(int i=0; i<N; i++)
   {
      std::cout << "i: " << i << '\t' << "U[i]: "<< U[i] << '\t' << "Z[i] :" << V[i] << std::endl;
   }
   return 0;
}


EDIT : j'ai linké la question ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1031025,1031025#msg-1031025

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Ben314
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par Ben314 » 12 Déc 2014, 19:08

Perso, je sais montrer que Zn tend vers U1 pour toute suite bornée et je peut donner des majorations (sans doute non optimales) de la vitesse de convergence.
Par contre, mon truc ne se généralise pas du tout facilement à d'autre types de "sommations" i.e. je sais faire des calculs qui mènent au résultat dans ce cas là, mais je ne maitrise fondamentalement pas le "pourquoi" les calculs donne le bon résultat.
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par Luc » 12 Déc 2014, 19:57

Ben314 a écrit:Perso, je sais montrer que Zn tend vers U1 pour toute suite bornée et je peut donner des majorations (sans doute non optimales) de la vitesse de convergence.
Par contre, mon truc ne se généralise pas du tout facilement à d'autre types de "sommations" i.e. je sais faire des calculs qui mènent au résultat dans ce cas là, mais je ne maitrise fondamentalement pas le "pourquoi" les calculs donne le bon résultat.


Tu veux dire qu'on a une expression explicite de ? Ou au moins une minoration explicite par quelque chose qui tend vers 1?

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par Ben314 » 12 Déc 2014, 20:22

Luc a écrit:Tu veux dire qu'on a une expression explicite de ? Ou au moins une minoration explicite par quelque chose qui tend vers 1?
Oui... :zen:
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par Groucho » 16 Déc 2014, 13:03

Bonjour à tous

Très joli question, pas trop simple à ce que je vois.

Mais pourquoi ne pas faire encore plus compliqué et ne pas s'arrêter à Z ? Je veux dire, la suite Z peut très logiquement se noter . On peut alors continuer, avec (faire avec la suite Z ce qu'on a fait avec la suite U), , et , pour tout ordinal . Alors, qu'est ce qui se passe ? Obtient on plus de suites convergentes ?, ou bien finit on par toujours trouver une suite convergente ?

A vue de nez, si U n'est pas trop rapidement croissante, Z est peut être bornée, ce qui fait que serait convergente.
Quelque chose est sûr : ça finit par être périodique (pour une question de cardinalité).

Amusez vous bien

Luc
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par Luc » 16 Déc 2014, 14:13

Groucho a écrit:Bonjour à tous

Très joli question, pas trop simple à ce que je vois.

Mais pourquoi ne pas faire encore plus compliqué et ne pas s'arrêter à Z ? Je veux dire, la suite Z peut très logiquement se noter . On peut alors continuer, avec (faire avec la suite Z ce qu'on a fait avec la suite U), , et , pour tout ordinal . Alors, qu'est ce qui se passe ? Obtient on plus de suites convergentes ?, ou bien finit on par toujours trouver une suite convergente ?

A vue de nez, si U n'est pas trop rapidement croissante, Z est peut être bornée, ce qui fait que serait convergente.
Quelque chose est sûr : ça finit par être périodique (pour une question de cardinalité).

Amusez vous bien

Un peu comme les suites de Goodstein :d

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par Luc » 16 Déc 2014, 14:34

Ben314 a écrit:Oui... :zen:


Il me semble que , mais je ne vois pas comment calculer ou majorer cette quantité plus explicitement.

EDIT : je m'embrouille dans les indices des poids. Plus exactement, en partant de ()=(1 0 0 .... 0 ... ), on obtient

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par Ben314 » 16 Déc 2014, 14:36

Groucho a écrit:Mais pourquoi ne pas faire encore plus compliqué et ne pas s'arrêter à Z ? Je veux dire, la suite Z peut très logiquement se noter . On peut alors continuer, avec (faire avec la suite Z ce qu'on a fait avec la suite U), , et , pour tout ordinal . Alors, qu'est ce qui se passe ? Obtient on plus de suites convergentes ?, ou bien finit on par toujours trouver une suite convergente ?
On pourrait effectivement, mais vu que la suite zn converge vers u1 pour toute suite bornée (un), a mon sens, ça te dit déjà qu'on y est allé "un peu trop fort" et que la notion n'est "pas vraiment intéressante", et ce n'est pas en "allant encore plus loin" que ça risque de la rendre intéressante.
Perso., si je devais essayer de "généraliser", je pencherais plutôt vers la recherche d'une fonction telle que, si est le -ième terme de C^n(k), la suite tende vers autre chose que voire même vers quelque chose qui ne dépend pas de , histoire que ça "colle" avec la vision naïve de limite (qui ne dépend pas des termes "du début")

Sinon, s'il y en a qui cherchent encore, sur la "philosophie", tout a été dit par Luc : le n-ième terme de C^k(U) est clairement une moyenne pondérée de u1,u2,...un (avec des pondération positives) et, si on note le "poids" de dans le calcul du n-ième terme de C^k(U), il suffit de montrer que pour en déduire que (zn) tend vers u1 pour toute suite U bornée.

Concernant la "pratique", ben en fait, il s'avère qu'il y a une formule "relativement simple" qui donne la valeur de (en tout cas suffisamment simple pour en déduire que )
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Groucho
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par Groucho » 16 Déc 2014, 15:51

Bon, comme d'habitude, j'ai dis une bêtise. On ne peut définir que pour dénombrable. et donc ma dernière remarque est idiote.

 

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