Sinusoides de sinusoides

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
lulu math discovering
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Sinusoides de sinusoides

par lulu math discovering » 05 Sep 2015, 16:00

Salut.

En rentrant une fonction de la forme y=sin(x)*sin(10x)*sin(100x).... avec autant de formules sinus que souhaitées sur un logiciel de géométrie (geogebra en l'occurrence), j'observais des courbes sinusoïdales qui se regroupaient en ... groupes, je sais pas quel autre mot utiliser.

De plus, si je dézoomait beaucoup, les sinusoïdes individuelles avait tendance à ne plus pouvoir être distinguées pour laisser apparaître comme des courbes en forme sinusoïdales constituées de tous les groupes inférieurs de sinusoïdes. :hein:

Je ne pense pas que ce soit très clair mais je pense qu'afficher la courbe vous aidera à comprendre ce que je veux dire.

Je comprends pourquoi la courbe allure, c'est du à la combinaison de plusieurs fonctions sinus de périodes différentes. Ce qui m'intéresse, c'est la façon par laquelle on pourrait exprimer mathématiquement le fait que :
"plus on dézoome, plus on a l'impression de voir la courbe qui devient un niveau de sinusoïdes plus important"

C'est pas clair. :hum:

En fait j'essaie d'expliquer mathématiquement l'aspect un peu "illusion d'optique" de cette courbe au fur et à mesure du zoom/dézoom.

Bonne chance pour comprendre. :++:



Skullkid
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par Skullkid » 05 Sep 2015, 18:16

Bonjour, je ne suis pas sûr de comprendre ton histoire de niveaux plus ou moins importants. Mais l'idée de base est qu'un signal de fréquence f se "voit bien" si on le regarde à une échelle 1/f. Si on le regarde à une échelle trop petite, on ne voit pas les oscillations; si on le regarde à une échelle trop grande, on voit du bruit.

Dans ton cas le signal contient plusieurs fréquences bien séparées donc tu percevras les "grandes" fréquences comme du bruit, les fréquences "moyennes" comme des enveloppes sinusoïdales, et tu ne verras pas les "petites" fréquences. En changeant ton échelle tu changes ce qui est considéré comme grand ou petit.

Si ton signal contient des fréquences proches les unes des autres, il se passe un phénomène similaire sauf que tes fréquences vont interférer : au lieu de voir un "produit" de fréquences séparées (i.e. une enveloppe sinusoïdale de basse fréquence "remplie" par du bruit à haute fréquence), tu vas voir une "somme" de fréquences séparées (i.e. une sinusoïde de basse fréquence "épaissie" par du bruit à haute fréquence).

lulu math discovering
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par lulu math discovering » 05 Sep 2015, 18:29

Merci, je pense que tu as bien formulé ce que je veux dire (si j'ai bien compris).
Je n'avais pas compris que l'échelle à laquelle on regarde la courbe définissait les notions de bruit.

Du coup pour bien reformuler ma question, pour quelle échelle e peut on dire que les variations de la fonction à l'échelle e' sont considérées comme sans importance/bruit/négligeable/je ne trouve pas d'autre exemple.

Skullkid
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par Skullkid » 06 Sep 2015, 19:20

En l'occurrence par "bruit" je n'entendais pas quelque chose de négligeable, mais quelque chose qui varie trop vite pour qu'on puisse y voir clair. Si tu regardes le graphe du sinus pour une abscisse entre 0 et 10^15, tu auras l'impression de voir un rectangle solide.

Comme dit, une fréquence f est associée à une échelle 1/f. Si tu t'éloignes trop de cette échelle, soit tu ne vas pas voir les oscillations, soit tu vas en voir beaucoup trop.

lulu math discovering
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par lulu math discovering » 06 Sep 2015, 19:24

C'est exactement ce que je recherche. Mais à partir de quand peut on dire que l'on est passé d'une fréquence à une autre ?
C'est un problème qui a par exemple des applications en informatique/programmation : à partir de quand le programme doit il considéré que c'est ce niveau de variation qui intéresse l'utilisateur et pas une autre échelle ?

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zygomatique
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par zygomatique » 06 Sep 2015, 20:25

salut

regarder ce que sont les harmoniques d'une fréquence ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

lulu math discovering
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par lulu math discovering » 06 Sep 2015, 20:45

Ah c'est vrai. Est-ce qu'on peut dire que mes petites variations sont des harmoniques de la courbe en elle-même ? Je ne maitrise pas ce sujet sur le bout des doigts.

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