Singe et martingales

[lapras]

Bonjour,
voici un exo que j'ai eu en TD et que j'ai trouvé très sympa.

On a un singe qui tape à chaque instant (t=1,2,....) une lettre au hasard sur une machine à écrire (on suppose que l'alphabet et l'alphabet classique de 26 lettres). Le singe tape ainsi une suite de lettre infinie.

Question : quelle est en moyenne la valeur du premier instant où le mot de 11 lettres ABRACADABRA est écrit ? (autrement dit si T = instant où on a écrit le dernier A de ABRACADABRA pour la première fois, calculer E(T)).

Calculer de même le premier temps moyen d'arriver du mot ABCDEFGHIJK et comparer avec ABRACADABRA. Interprétation ?

Indication :
On pourra considérer le jeu suivant :
On a une file infini de joueurs notés 1,2,3,... Le joueur n arrive à l'instant t=n et parie 1 euro avec le singe que la lettre qu'il va taper à l'instant n est A. Si il perd, il donne l'euro et s'en va. Sinon, il donne 1 euro au singe et le singe lui donne 26 euros (jeu équitable) et le joueur remise tout (les 26 euros) et parie que la prochaine lettre (la (n+1) eme) est un B. Si il gagne le singe lui donne 26^2 euros et il remise tout à nouveau et parie que la prochaine lettre sera un R, etc...

Noter que plusieurs joueurs peuvent joueur en même temps (jusqu'à 3 joueurs en même temps pour ABRACADABRA).

Considérer alors l'argent X_n du singe à t=n (martingale)...


Lapras :lol3:

[ffpower]

Salut!

N'y a t-il pas un problème avec l'indic?
car l'espérance de gain du joueur au premier coup fait (25/26)*(-1)+(1/26)*26=1/26, donc c'est pas un jeu équitable contrairement à ce que dit l'énoncé. Le singe ne devrait-il pas donner plutôt 25 euros?

[godzylla]

et le singe peut faire une pause pour déjeuner? faut il prendre en compte la disposition des lettres sur le clavier?

[lapras]

C'est mal dit, mais en fait le joueur perd automatiquement la mise qu'il donne au singe directement à t=n. Par exemple il donne son 1 euro au singe et si il gagne il reçoit 26 euros et continue et si il perd bah il part.

[lapras]

oups double post désolé.

[fatal_error]

salut lapras,

juste pour info tu as la possibilité de supprimer tes messages(pour les doublons):

click sur bouton Modifier;
Suppression logique du message;
un ptit motif, style doublon

et hop

PS: ta boite à mp est pleine :triste:

[lapras]

Je ne vois pas ce fameux bouton : est ce qu'il ne serait réservé qu'aux modérateurs ?

[nodjim]

Il faut activer Java Script.

[lapras]

Alors pas d'idées ?

[godzylla]

quelle est en moyenne la valeur du premier instant où le mot de 11 lettres ABRACADABRA est écrit ?


Le joueur n arrive à l'instant t=n et parie 1 euro avec le singe que la lettre qu'il va taper à l'instant n est A.
Si il perd, il donne l'euro et s'en va.

Sinon, il donne 1 euro au singe et le singe lui donne 26 euros (jeu équitable)
la meme lettre peut etre réutilisé

On a un singe qui tape à chaque instant (t=1,2,....)
y=x=t
pour 11 lettres, t=11

le joueur remise tout (les 26 euros) et parie que la prochaine lettre (la (n+1) eme) est un B
n(0)
n(1)= 26²
n(2)= 26³
n(3)=26;)
.....
n(11)=26;)

je ne sais pas comment noter que la suite est interompue?

[godzylla]

la question du temps moyen passé sur le jeu est interessante.

[lapras]

Tant qu'aucun joueur n'a gagné, le jeu continue. Par convention on peut dire que même quand un joueur gagne, il continue à jouer en donnant 0 euros au singe et en recevant 0 euros du singe. ça ne change rien car on s'intéresse au temps d'arrêt qui correspond au premier moment ou quelqu'un gagne : faut juste que l'argent gagné par le singe soit une martingale.

[Judoboy]

Je dirais qu'on aura plus vite ABRACADABRA que ABCDEFGHIJK vu que de temps en temps les fautes de frappe seront des B après des A, qui permettent de recommencer à la 3ème lettre alors que pour l'autre on doit reprendre au début. Mais après le calcul du temps moyen je vois pas trop.