Simulation d une proba avec un dé

[ThSQ]

Une suggestion :

On tire deux fois de suite le dé et on fait la somme s = 3*d1+4*d2.

Sauf erreur on peut obtenir 21 nombres de une seule façon possible (7,10,11, ..) et 6 autres de 2 façons possibles (19, 22, ...).
Donc une façon de faire est d'ignorer les nombres ayant 2 façons d'être atteints (pas grave, on rejoue ...) de regrouper les autres par trois.

[ffpower]

21+6*2=33,il manquent des possibilités non?ya p-e certains nombres ayant 3 décompositions

En fait la,tu gardes donc 21 possibilités sur les 36,et tu recommences donc dans 15 cas.Vaut mieux garder 35 possibilités,et recommencer dans un seul cas..
Edit:me suis encore fait feinter par THSQ lol..Bon ben oubliez ce qui y a écrit ici

[ThSQ]

Lol, sorry ! Tu passes h24 sur le forum toi ;)

En fait juste après l'avoir écris je me suis dit qu'il devait y avoir une formule qui donne le résultat direct et que donc bon ...

Une autre formule : (d1 mod 5 + 1)*(d2 mod 3 + 1) où on ne retient que les valeurs 1,5,8,9,10,12,15

[nodgim]

Une méthode qui va donner un résultat très proche de 1/7.
groupe 7: 123456
groupe 2: 712345
groupe 3: 671234
groupe 4: 567123
groupe 5: 456712
groupe 6: 345671
groupe 1: 234567

Le premier lancer sélectionne un groupe (1 à 6), les suivants le rang du chiffre dans le groupe. Par exemple, lancers 4 puis 5: le 5ème nombre du groupe 4 est 2. Le lancer suivant regardera le rang du groupe 2.

Quelles sont les probabilités de chaque chiffre au bout de k lancers ?

[ffpower]

Lol, sorry ! Tu passes h24 sur le forum toi

Toujours a l'affut pour guetter tes failles :bad: :arme:

Une méthode qui va donner un résultat très proche de 1/7.
groupe 7: 123456
groupe 2: 712345
groupe 3: 671234
groupe 4: 567123
groupe 5: 456712
groupe 6: 345671
groupe 1: 234567

Le premier lancer sélectionne un groupe (1 à 6), les suivants le rang du chiffre dans le groupe. Par exemple, lancers 4 puis 5: le 5ème nombre du groupe 4 est 2. Le lancer suivant regardera le rang du groupe 2.

Quelles sont les probabilités de chaque chiffre au bout de k lancers ?

Le probleme,c est qu on ne pourra jamais tomber sur le groupe 7 au premier lancer,ce ne sera donc pas équiprobable..Sinon,effectivement,ca permet de s approcher de la proba uniforme pour un nb fixé d de lancers..Plus d est grand,plus on sera proche de 1/6..

[ThSQ]

Toujours a l'affut pour guetter tes failles

En l'occurrence je crois que ça marche :langue: , un petit prog en Maple (ça prouve rien mais ça rassure !) :


> die1 := rand(1..6):
> die2 := rand(1..6):
> for i from 1 to 7 do tab[i]:= 0; od;
> N := 1000000;
> nGood := 0;
> for n from 1 to N do
> d1 := die1();
> d2 := die2();
> p := 0;
> d := (d1 mod 5 + 1)*(d2 mod 3 + 1);
> if (d=1) then p := 1; fi;
> if (d=5) then p := 2; fi;
> if (d=8) then p := 3; fi;
> if (d=9) then p := 4; fi;
> if (d=10) then p := 5 ; fi;
> if (d=12) then p := 6; fi;
> if (d=15) then p := 7; fi;
> if (p 0) then
> tab[p] := tab[p]+1;
> nGood := nGood+1;
> fi;
> od;
> print (nGood/7.0);
> for i from 1 to 7 do print (i, tab[i], (tab[i] - nGood/7.0)/tab[i]); od;

55598.57145
1, 55778, .00321683369
2, 55524, -.00134304895
3, 55806, .003716957854
4, 55209, -.007056303320
5, 55739, .002519394858
6, 55339, -.004690569942
7, 55795, .003520540371

[ffpower]

Je suis d accord que ca marche,c est juste que c est moins optimal que la methode de nuage,qui consiste a faire par exemple d1*6+d2 mod 7 en écartant seulement le cas d1=d2=6

[nodgim]

... on sera proche de 1/6..

De 1/7.
L'écart entre 1 à 6 d'une part, 7 d'autre part, est maintenu à une seule unité.
Pour 2k, la proba pour les chiffres 2 à 6 est de 1/n avec n=7 *6^2k/(6^2k-1) pour k=6, 12 lancers, la proba est de 1/7.000000003.
Pour 14 lancers, ma petite casio renvoie 7.

[ffpower]

oui je voulais dire 1/7 pardon,je rectifie...
Cela dit ca ne répond a la meme question que la question initiale ca ca ne sera jamais une methode exacte...(ca doit s approcher de 1/7 en 1/6^d comme tu l as dit...).On pourrais faire autrement(il suffit d associer une valeur entre 1 et 7 pour chaque d-uplets que l on peut obtenir,de maniere "a peu pres uniforme"),mais ta methode est quand meme interessante car elle est simple et reccursive(dans le sens ou "on s arrete quand on veut")

Edit:pour dire que la methode de nuage est elle aussi tres efficace,car elle donne une probabilité exacte de 1/7,c est seulement le nombre de lancers qui n est pas fixé a l avance,mais sera généralement tres petit.En effet,la probabilité de faire plus de d lancers est la aussi de l ordre de 1/6^d

[Doraki]

De toutes façons la méthode optimale pour simuler un dé à n faces avec un dé à m faces c'est de suivre l'écritude de 1/n en base m parceque c'est la stratégie qui arrête de lancer le dé autant que c'est possible tout en approximant le mieux possible après k lancers

Je me demande ce qu'on peut faire si on veut simuler un dé avec un dé pipé.

[nodgim]

pour dire que la methode de nuage est elle aussi tres efficace,car elle donne une probabilité exacte de 1/7,c est seulement le nombre de lancers qui n est pas fixé a l avance,mais sera généralement tres petit.En effet,la probabilité de faire plus de d lancers est la aussi de l ordre de 1/6^d

Euh, à vrai dire je n'ai pas très bien compris la méthode de la relance (comme le ministre du même nom :ptdr: ) avec le 35. :doh:

[nuage]

[...]

pour dire que la methode de nuage est elle aussi tres efficace,car elle donne une probabilité exacte de 1/7,c est seulement le nombre de lancers qui n est pas fixé a l avance,mais sera généralement tres petit.En effet,la probabilité de faire plus de d lancers est la aussi de l ordre de 1/6^d

Soyons précis :
le nombre de lancers est pair et strictement positif. La probabilité de faire plus de lancers est égale à .
Cette méthode (36-1=35) est optimale au sens suivant :

• il n'y a pas de méthode exacte avec un nombre fini de lancers. Pour ceci voir

  Si on lance d fois le dé,on a alors 6^d événements possible.A chacun d eux on doit attribuer un résultat entre 1 et 7,sachant que chacun de ces résultats doit avoir meme nombre d antécédents.C est clairement pas possible puisque 7 ne divise pas 6^d

• Avec une méthode à 3 lancers ou plus il faut en moyenne plus de trois lancers or avec deux lancers on en lance en moyenne 2,06...

Pour le cas général Doraki a répondu

[ffpower]

Est ce que tu pourrais expliciter un peu ta methode Doraki stp?(ou nuage)
Edit:c est bon pour moi,en fait,j ai compris(en essayant de simuler une proba de 1/pi avec une piece^^).Ca a l air en effet assez optimal...

[ThSQ]

Pour le cas général Doraki a répondu

Je comprends peut-être pas sa méthode mais je vois pas en quoi elle est optimale (ou même jouable) vu qu'il peut (et doit dans la majorité des cas) y avoir une infinité de lancers pour avoir la proba voulue.

[nodgim]

C'est bon pour moi aussi.
En résumé, on peut obtenir n'importe quelle probabilité 1/k avec n lancers tels que 6^n >= k, même s'il faudra parfois s'y reprendre en plusieurs fois pour obtenir le résultat.

[ffpower]

Une explication de la methode Doraki:supposons qu on a un dé a k faces(on va dire qu elles sont numérotées de 0 a k-1 pour simplifier) et on veut simuler une probabilité (p,1-p) (pas forcément de la forme 1/n)..On regarde le développement de p en base k:.Alors on lance le dé:si le résultat est différent de b1,on s arrete et on regarde juste si c est plus petit ou plus grand.Si le résultat vaut b1,on relance le dé et on compare le résultat a b2,ect..

[ffpower]

Je me demande ce qu'on peut faire si on veut simuler un dé avec un dé pipé.

Voila le cas d une piece pipée proba(pile)=p,proba (face)=1-p,ou on veut simuler une piece vérifiant proba(pile)=q,proba (face)=1-q(on prend donc q=1/2 si on veut simuler une piece normale)

L idée,la encore,c est d essayer de simuler la loi uniforme sur [0,1](c est ce qu on faisait en utilisant un développement en base k)
au lieu d utiliser la base,on va utiliser les segments emboités:

On part de l intervalle I0=[0,1] qu on décompose en [0,p] et [p,1] et on lance la piece.Si on tombe sur pile,on sélectionne I1=[0,p],si on tombe sur face,on sélectionne I1=[1-p,p].Puis on recommence le procédé a partir de I1.Supposons avoir construit Ik,on découpe Ik en 2 intervalles,le premier de longueur p*l(Ik) (l(Ik)=longueur de Ik),et le 2eme de longueur (1-p)*l(Ik).On lance la piece,si on tombe sur pile,on dit que I(k+1) est le premier intervalle,si on tombe sur face on dit que I(k+1) est le 2eme intervalle..

.Les Ik construits,l intersection des Ik est réduit a un point X.X est une variable aléatoire dans [0,1],on prouve assez facilement qu elle suit une loi uniforme.pour simuler une Bernoulli (q,1-q),il suffit de regarder si X est plus petit ou plus grand que q.Pour vérifier ca en temps fini(presque surement),il suffit de dire que ps, il existe k tel que Ik est inclu dans [0,q] ou dans [q,1]

Ainsi l algo est donc le suivant:on construit les Ik comme définis ci dessus en lancant notre piece pipée,jusqu a ce que Ik soit inclu dans [0,q] ou dans [q,1].La on s arrete,si notre Ik est dans [0,q],on renvoie NewPile,si il est dans [q,1],on renvoie NewFace..Et alors la proba d arriver a NewPile est bien q(et celle de NewFace 1-q bien sur^^)

[scelerat]

Comme ça on a pas une loi uniforme sur {0,...6}

Ah ? Par l'absurde, si la loi n'est pas uniforme, cela signifie que lorsqu'on ferait une suite de doubles lancers, on n'aurait pas a chaque coup la meme probabilite 1/36 de tomber sur 35, donc que les des d'origine seraient pipes.

[scelerat]

voila une preuve rapide de 2):on ne peut pas y arriver avec un nombre fixe de lancers de dé:
Si on lance d fois le dé,on a alors 6^d événements possible.A chacun d eux on doit attribuer un résultat entre 1 et 7,sachant que chacun de ces résultats doit avoir meme nombre d antécédents.C est clairement pas possible puisque 7 ne divise pas 6^d

Pas d'accord. Il n'y a pas de raison qu'on ne puisse pas trouver une methode qui n'affecte pas toujours le meme evenement au meme resultat, et qui en probabilite donne bien 1/7 au final.

Ainsi, mes deux tirages au rang i me permettent de definir deux valeurs, U_i = 6T1+T2 modulo 7 et V_i = V_{i-1} si double 6, V_i = V_{i-1} + 1 modulo 7 sinon . Je retiens U_i si je n'ai pas fait double 6, V_i sinon. C'est bien uniforme, c'est bien aleatoire. Ca demande qu'on puisse conserver l'etat du systeme quand on genere une suite de tirages aleatoires, c'est tout (meme si je reconnais que ca peut etre contraignant).

[Doraki]

scélérat, tes événements ne sont pas indépendants,
les lois de probabilités pour X1,X2, ... Xn .... sont toutes différentes, et aucune n'est une loi uniforme.

Alors précise ce que tu veux dire quand tu dis que ta méthode donne un résultat aléatoire avec une loi uniforme.