Simplification faisable ?

[nodgim]

Bonjour à tous.
Peut on simplifier cette expression:
racine 4ème de (49+20*rac6) ?

[Le_chat]

Yes we can Bon le truc c'est que

PS: et ça se simplifie encore

[LeJeu]

Yes we can Bon le truc c'est que
PS: et ça se simplifie encore

genre :
?

[Ben314]

Et ça, qui c'est qui me le simplifie : ?

P.S. J'aimerais bien voir si ceux qui ne savent pas "d'où ça sort" arrivent à le simplifier...

[Galax]

Et ça, qui c'est qui me le simplifie : ?

P.S. J'aimerais bien voir si ceux qui ne savent pas "d'où ça sort" arrivent à le simplifier...

En posant a=6rac(21) et b=27, on remarque que a2-b2=b
d'où en developpant et simplifiant X3 :
X3 = 2b - 9X
dont 3 est 'racine évidente' ? :we:

[Ben314]

Effectivement,
En fait, le 'X' en question est l'expression donné par les formules de Cardan des racines du polynôme P=X³+9X-54 qui a effectivement 3 comme "racine évidente".
Peut-on retrouver la valeur de X (c'est à dire 3) sans "remonter" au polynôme P (i.e. sans que la preuve se termine par "3 est racine évidente de...") ?

P.S. : Je n'ai pas la réponse...

[Doraki]

Ca m'étonnerait très fortement que tu puisses trouver que X = 3 sans faire apparaître quelquepart le fait que 3 vérifie une certaine propriété comme être racine réelle d'un polynôme de degré 3 qui annule X etc etc.

[LeJeu]

Et ça, qui c'est qui me le simplifie : ?

P.S. J'aimerais bien voir si ceux qui ne savent pas "d'où ça sort" arrivent à le simplifier...

je pense que j'ai :

avec comme identités "remarquables" : :id:

et


Ce qui nous donne x= 3/2 +3/2 = 3

[LeJeu]

J'ai l'impression que nous sommes dans le cas particulier de l'expression ci dessous qui semble bien valoir 3 quel que soit x >= 0 ?



(On peut vérifier facilement pour x=0, x=1/4..)

Quelqu'un voit comment procéder pour mener le calcul ?

[Ben314]

Un petit "rappel" sur une des méthodes pour retrouver les formules de Cardan :
Dans l'équation , si on pose , on obtient :

Qui est vérifié lorsque et donc (ces deux dernières conditions étant équivalentes dans R mais pas dans C...)
Ces deux conditions signifient qu'en fait et sont les deux solutions de l'équation du second degrés de discriminant .
Une petite étude de la fonction montre que si et seulement si f admet une unique racine réelle et donc deux racines complexes conjugués. Dans le cas ou f admet trois racines réelles, il faut donc forcément passer par le corps C des nombres complexes.
Si les solutions (réelles) de l'équation du second du second degrés sont donc et, l'unique solution réelle de l'équation du troisième degrés de départ est donc :


Par exemple, pour ,

correspond à et donc (calculs) .
Donc est la racine réelle du polynôme .
Or une racine "évidente" est 3 donc .

Pour ton avant dernier post, je suis d'accord avec tes identités remarquables, mais la question est : comment fait tu pour trouver les facteurs 'a' et 'b' tels que ?
Sauf erreur, si on développe et que l'on identifie les coefficients, on tombe (comme par hasard) sur une équation du troisième degrés...

[LeJeu]

Je suis parti en me disant 'supposons que le résultat soit trois' et j'ai construit ma dernière expression

Au sens strict je n'ai pas (vraiment ? )résolu d'équation du 3° degré...

Par exemple pour résoudre 'mon expression' , 'il suffit' de poser x = Y^2 et ensuite tout roule
on reconnait facilement (3/2 +Y)^3 et (3/2-Y)^3 ( c'est fait pour ...)

et c'est donc ce a=3/2 supposé depuis le départ qui évite de résoudre une équation du 3° degré et donne ainsi b directement pour mon avant dernier post

je cherche y tel que (3/2+Y)^3 = 27+6 sqrt(21)
ce qui se trouve avec 27/8 +9/2 y^2 =27

("est que supposons que le résultat soit 3" est équivalent à "3 est une racine évidente d'une équation du troisième degré?")

[Doraki]

Je suis de l'avis de Ben,
trouver la racine cubique du machin dans est au moins aussi magique que dire "oh bah 3 est racine évidente".

Comment t'obtiens l'équivalence entre "(3/2+y)^3 = truc" et ton 27/8+9y²/2 = 27 ?

[LeJeu]

Vous fâchez pas !

J'ai juste montré que ce faisait trois de façon pas trop bourrine c'est tout, et sans passer par les équations de cardan

On pourrait même presque dire que c'est joli...

[Ben314]

Moi aussi, personellement moi même, je suis comme Doraki, c'est à dire plutôt de l'avis de Ben :zen:
Et, effectivement, j'ai tendance à considérer que le "supposons que le résultat soit 3" est équivalent à "3 est une racine évidente de telle équation" : dans les 2 cas, le 3 est un peu "magique" comme le dit doraki.

Sur le fait que c'est plus joli que la méthode proposée par Galax qui correspond clairement à "remonter" la formule de Cardan, c'est... discutable (les gouts et les couleurs...) :
- C'est sans doute plus joli dans le sens que la vérification complète des calculs est un peu plus courte : dans ta méthode, il suffit de développer , dans celle de Galax, l'expression à developper est ce qui semble un peu plus lourd.
- D'un autre coté, la "méthode Galax" donne moins l'impression d'être "sortie d'un chapeau", la quantité qu'il élève au cube, c'est à dire X fait parti de l'énoncé alors que la tienne, c'est à dire donne l'impression de "sortir de nulle part".

P.S. Là ou je suis aussi de l'avis de Doraki, c'est sur le fait que je pense (sans certitude) qu'on ne peut pas échaper au fait de faire un peu sortir le 3 d'un chapeau.
Peut être que la seule façon de prétendre qu'il ne sort pas complètement d'un chapeau et de dire que le polynôme de degrés 3 étant à coeff rationnels, s'il admet une racine rationelle, celle ci fait partie d'un ensemble fini de "candidats" ce qui signifie que, si une telle expression (avec racine cubiques de racines carrées...) est rationelle, on a un algorithme "carré-carré" pour trouver la valeur.

P.S.2 : Je me fache pas, j'explique. [Michel Audiard : les tontons flingueurs ?]

[LeJeu]

je voulais juste ajouter que je pars juste d'un (3/2 +x) et rien d'autre ( pas de sqrt(21) à priori !)

Je conjoncture que si n est est racine entière d'une équation du 3° degré, si on résout cette équation par la méthode de cardan sous la forme de la somme de deux racines cubique

Alors on peut, à postériori, montrer que la somme de ces 2 racines vaut n, en exprimant les radicaux comme (n/2 +x)^3 et (n/2 -x)^3 qui se simplifie en n ( c'est fait pour..)

[benekire2]

Nice thread !!

[Doraki]

Je conjoncture que si n est est racine entière d'une équation du 3° degré, si on résout cette équation par la méthode de cardan sous la forme de la somme de deux racines cubique

Alors on peut, à postériori, montrer que la somme de ces 2 racines vaut n, en exprimant les radicaux comme (n/2 +x)^3 et (n/2 -x)^3 qui se simplifie en n ( c'est fait pour..)

En gardant

Si tu cherches a et b tels que

tu obtiens après calculs que

ce qui se factorise sans surprise en

(où )

Donc oui si tu choisis de prendre une racine de x^3+px+q pour a, tu vas trouver une racine cubique, parceque ces racines sont aussi racines du polynôme de degré 9.

[Ben314]

On peut aussi voir le résultat assez directement dans les équations de Cardan :
Si est racine de alors et on a donc .
D'un autre coté, on sait que où et sont les fameuses racines cubiques et que donc et sont les racines de .
Donc et sont égaux à

[Hir]

Moi aussi, personellement moi même, je suis comme Doraki, c'est à dire plutôt de l'avis de Ben

Un jour il faudra penser à regrouper quelques unes de tes meilleurs citations ... (tes élèves se sont d'ailleurs peut être déjà attelés à la tache :lol2: )