Simple démonstration du grand théorème de Fermat

[ottapponne]

Voici une simple démonstration du grand théorème de FERMAT.

on doit démontrer que a^n + b^n = c^n est impossible si n > 2
avec a, b et c entiers naturels et n entier naturel.

Supposons que : a^n + b^n = c^n avec b < a (équation 1)
et on va démontrer que cela est faux (raisonnement par l'absurde)

De l'équation 1, on déduit que c > a et que c > b

on divise les 2 membres de l'équation 1 par a^n

on obtient : 1 + (b/a)^n pour le 1er membre et (c/a)^n pour le second membre

si on suppose a^n + b^n = c^n (hypothèse de départ), cela entraine que 1 + (b/a)^n = (c/a)^n

Donc lim [1 + (b/a)^n] quand n ---> ∞ devrait être égale à lim [(c/a)^n] quand n ---> ∞

Or on voit que lim [1 + (b/a)^n] = 1 quand n ---> ∞ car [(b/a)^n] ---> 0 quand n ---> ∞ (puisque b/a < 1)

tandis que que lim [(c/a)^n] = ∞ quand n ---> ∞ (puisque c/a > 1).

Donc lim [1 + (b/a)^n] quand n ---> ∞ est différente de lim [(c/a)^n] quand n ---> ∞

Ce qui prouve que a^n + b^n ne peut pas être égal à c^n sauf pour n=1 et n=2

------------------------------------------ fin de la démonstration -------------------------------------------

[hdci]

Bonjour,

Utilisons ce même raisonnement, mais cette fois-ci en considérant que a,b,c sont des réels et pas des entiers.

On en déduit donc qu'il n'existe aucune solution vérifiant , puisque le même argument montre que et en faisant tendre n vers l'infini on obtient également 1=0 absurde.

Prenons alors
Prenons également

On vérifie bien a<b et b<c. Et pourtant on a bien .

On aurait pu prendre n=10 à la place, avec le même a et le même b on aurait pris


Le raisonnement proposé comporte donc une (sacrée) faille.

Dans l'équation, étant donné n fixé, on cherche trois entiers a,b,c vérifiant . Ou plus précisément dans le cadre du théorème de Fermat, "pour quelles valeurs de n, l'équation admet-elle des solutions en a,b,c entiers"
Vous ne pouvez pas dire "faisons-le tendre vers l'infini", puisque n n'est pas variable, c'est un paramètre.

C'est comme si je cherchais à résoudre en disant "faisons tendre x vers l'infini, j'obtiens l'infini égale zéro, donc il n'y a pas de solution" : vous voyez bien que le raisonnement ne tient pas.

En fait, vous avez résolu le problème suivant : existe-t-il trois entiers a,b,c tel que pour tout entier n>2 on ait : mais ce n'est pas cela l'énoncé du grand théorème de Fermat.

[ottapponne]

Bonsoir
Merci pour votre analyse
J'ai cependant quelques remarques
1- Vous dites :
1 + (b/a)^n = (c/a)^n , en faisant tendre n vers l'infini on obtient également 1=0 absurde.
Non, on n'obtient pas 1=0, mais 1 = ∞
En fait, vous avez considéré que c/a < 1 alors que c > a ----> c/a > 1 et [(c/a)^n] ----> ∞ qd n ----> ∞ .

2- Vous donnez comme exemple a=3, b=4 et n=3
Mais dans ma démonstration j'ai bien dit que b < a et non le contraire. Cela change tout.

3- Votre exemple 2x-4 = 0 n'a rien a voir avec l'égalité de l'équation 1. Ce n'est pas une égalité de 2 fonctions.

En effet, de l'équation 1, on déduit que 1 + (b/a)^n = (c/a)^n ce qui peut être défini comme une égalité de deux fonctions f(n) et g(n) avec f(n) = 1 + (b/a)^n et g(n) = (c/a)^n.

Si f(n) = g(n), cela implique que toutes les opérations effectuées sur une fonction s'appliquent automatiquement sur l'autre.

Autrement dit, la limite de f(n) qd n ----> ∞ DOIT ETRE LA MEME que la limite de g(n) qd n ----> ∞. Cela me parait évident puisque f(n) = g(n) quel que soit n.

Cependant, dans notre cas, la limite de f(n) qd n ----> ∞ est égale a 1 tandis que la limite de g(n) qd n ----> ∞ est égale a l'infini.

Par conséquent, les fonctions f(n) et g(n) NE PEUVENT PAS ETRE EGALES et l'équation 1, dont elles dérivent, ne peut pas être vérifiée.

[lyceen95]

Dans le grand théorème de Fermat, on prend un nombre n. n=3 par exemple, ou n=100.
Mais on le choisit au début de l'exercice, et il ne bougera pas.

Par exemple, je choisis n=7.
Le grand théorème de Fermat dit alors : l'équation a^7+b^7=c^7 n'a aucune solution avec a,b et c entiers non nuls.

Prouve moi ce théorème : l'équation a^7+b^7=c^7 n'a aucune solution avec a,b et c entiers non nuls

Après on attaquera le cas n=10 par exemple. Mais commence par le cas n=7.

Hdci avait rédigé sa réponse un peu vite, mais il avait quand même donné un argument fort : Dans ta pseudo-démonstration, tu n'utilises à aucun moment le fait que a,b et c sont des entiers.
Alors que normalement, c'est un élément essentiel du théorème.

[hdci]

En fait vous n'avez pas compris ce que j'ai dit ni votre erreur de raisonnement.

Tout d'abord

1 + (b/a)^n = (c/a)^n , en faisant tendre n vers l'infini on obtient également 1=0 absurde.
Non, on n'obtient pas 1=0, mais 1 = ∞

Oui, c'est une erreur de frappe de ma part, je pensais nien "infini". Mais cela ne change rien au propos

2- Vous donnez comme exemple a=3, b=4 et n=3
Mais dans ma démonstration j'ai bien dit que b < a et non le contraire. Cela change tout.

En fait cela ne change rien. Je corrige ce que j'ai écrit : je prend a=4, b=3 et n=3. Le reste ne change absolument pas.

3- Votre exemple 2x-4 = 0 n'a rien a voir avec l'égalité de l'équation 1. Ce n'est pas une égalité de 2 fonctions.

Ah voilà là le coeur du problème. Vous confondez "équation" et "égalité de fonctions".
Le grand théorème de Fermat, ce n'est pas de montrer qu'il existe (a,b,c) tel que les fonctions et soient égales, mais c'est de montrer que pour tout n>=3, il n'existe pas de solutions entières en (a,b,c) à l'équation

La GROSSE différence, c'est la position du quantificateur : "(a,b,c), quel que soit n" ou bien "quel que soit n, il existe (a,b,c)" : dans le premier cas, n peut être considéré comme une variable puisque (a,b,c) est fixé. Dans le second cas, c'est le contraire, le triplet (a,b,c) dépend de n.

D'ailleurs, si au lieu de considérer des entiers, on considère des nombres réels, il y a toujours des solutions à a^n+b^n=c^n dans les réels strictement positifs : il suffit de prendre a=2, b=1 et c est la racine n-ème de 1+2^n. Mais évidemment, chaque solution (a,b,c) dépend du n, on a bien l'existence de solution "pour tout n", mais par contre il n'existe pas une solution valable "pour tout n".

Voici un autre exemple dans lequel il n'y a pas égalité de fonction, et pourtant il y a des solutions entières.


Avec un raisonnement semblable au vôtre : on divise par , on obtient donc
Or il se trouve que l'exponentielle avale tous les polynômes, donc si on fait tendre n vers l'infini, on obtient infini=1, ce qui est absurde.
Mais pourtant, il y a bien une solution : c'est a=n-1

Autrement dit : les deux fonctions et sont différentes, mais l'équation admet des solutions.