+ qu'un simple crible? (nombres premiers).

[nightwatch]

Il est "assez simple" de prouver que tous les nombres non-premiers peuvent s'écrire sous la forme de 5 équations, ces 5 équations les donnant tous. L'infinité restante des nombres non donnés par ces 5 équations étant tous les nombres premiers.

Ma question est, comme nous connaissons toutes les équations donnant tous les nombres non-premiers; est-il possible d'en déduire a partir d'elles et par un raisonnement astucieux l'impossibilité de découvrir un ensemble fini d'équations donnant tous les nombres premiers?

Ces 5 équations sont:

A=2M
B=3N
C=(6P-1)(6Q-1)
D=(6R+1)(6S+1)
E=(6T-1)(6U+1)


M,N,P,Q,R,S,T,U sont des entiers naturels tel que C, D et E soient aussi des entiers naturels.




Jean-Luc D.

[nightwatch]

Pouvons-nous faire de nouvelles déductions sur les nombres premiers ?
Existe t-il une merveilleuse intelligence qui nous offrirait la possibilité de sortir dans l'ordre croissant les nombres non-premiers des équations C, D et E, et ainsi il serait peut-être facile d'en déduire une ou un ensemble d'équations donnant tous les nombres premiers dans l'ordre mais aussi très très rapidement ?


Que peut nous révéler ce crible ? Merci d'avance de vos intuitions mais surtout de votre logique.

Jean-Luc D.

[ffpower]

Bah ces equations sont pas bien dur a obtenir,donc je pense pas qu on pourra en deduire quelque chose d enorme..

[nightwatch]

Bah ces equations sont pas bien dur a obtenir,donc je pense pas qu on pourra en deduire quelque chose d enorme..

La roue aussi était très facile à obtenir et pourtant... :we:

[LeCaribou]

Bonjour
Tout d'abord, vraiment desolé de remonter un sujet aussi vieux pour une question aussi bête mais:
D'ou proviennent ces 5 équations s'il vous plaît?
De plus comment les interpreter? Personnellement je comprend que si on fait défiler à M,N,P,Q,R,S,T,U l'ensemble des naturels, alors les nombres A, B, C, D, E décriront tous les nombres composés c'est bien ça?

[L.A.]

Bonjour.

Tout entier congru à 0,2,3 ou 4 modulo 6 est divisible par 2 ou 3. Et comme les seuls inversibles de (Z/6Z) sont +1 et -1, un nombre composé congru à +1 ou -1 mod 6 est de la forme C,D ou E.

Donc ces équations reviennent à dire que tout nombre premier supérieur à 5 est congru à +1 ou -1 modulo 6. Je ne suis pas sûr que ça mène très loin...

[Basse789]

Bonjour L.A.

On peut quand même creuser.
Ce qui est dit c'est que
C=(6P-1)(6Q-1) = 6(6PQ - P -Q) -1 = 6G - 1
avec G = 6PQ - P - Q
Donc soit F(x), la fonction qui établit x --> F(x) = {6x-1, 6x+1}
pour x dans E(x) = [2, n[ --> F(x) dans E(F) = [11,13,17,19,23,25,29, etc..]
Il vient aisément que qqs x1, x2 appartenant à E(x), alors F(x1) * F(x2) n'appartient qu'à E(F).

On peut donc aborder le sujet ainsi

Posons tout d'abord une première définition :

Un nombre N est éligible (à être premier) si il existe m , un nombre entier positif tel que
N = 6 * m ± 1

Nous appellerons m l’absix de N

Puis une nouvelle perspective :
Il est plus facile de se représenter le fait qu'un nombre congru à +1 ou -1 mod 6 correspond à un nombre de la colonne 1 ou de la colonne 5 en base 6.

Ensuite reprenons notre réflexion :

Soit N un nombre éligible d’absix n, N n’est pas premier si il existe N1 , N2 (d’absix respectifs k,y) tels que :
N = N1 x N2 avec N = 6 * n ± 1, N1= 6 * k ± 1 et N2= 6 * y ± 1
Soit si (6 * n ± 1) = (6 * k ± 1)* (6 * y ± 1)

• Pour les nombres congrus à +1 (de la première colonne) tel N = 6 * n + 1, nous obtenons alors 2 équations distinctes non linéaires suivantes à résoudre :
(6 * k + 1)* (6 * y + 1) = (6 * n + 1)
(6 * k - 1)* (6 * y - 1) = (6 * n + 1)
soit
6 * k *y + k + y – n = 0
ou
6 * k *y - k - y – n = 0

• De même, pour les nombres congrus à -1 (de la cinquième colonne) tel N = 6 * n - 1, nous obtenons alors 2 équations distinctes non linéaires suivantes à résoudre :
(6 * k + 1)* (6 * y - 1) = (6 * n - 1)
(6 * k - 1)* (6 * y + 1) = (6 * n - 1)
soit
6 * k *y - k + y – n = 0
ou
6 * k *y + k - y – n = 0

Pour résumer, pour qu’un nombre N soit premier, il doit être éligible, c'est-à-dire qu'il soit congru à +1 ou -1 mod 6. Néanmoins, selon sa "congruité" (sa colonne en base 6), s’il existe k,y entiers positifs résolvant l’une des équations ci-dessus alors N n’est pas premier.
Des lors, Il devient analytiquement possible de prouver qu’un nombre est premier ou pas et de connaître exactement les deux nombres premiers qui compose un éligible.

Mais est-ce que la résolution de ces équations non linéaires à 2 variables ne sont elles pas lourdes (moins rapides que celles existantes) ? Effectivement, même si des méthodes comme celles de Newton-Raphson ou de minimisation de fonctions existent, je n'ai pas poussé plus loin mes recherches.










Ce qui signifie que les

[L.A.]

Bonjour.

Mais est-ce que la résolution de ces équations non linéaires à 2 variables ne sont elles pas lourdes (moins rapides que celles existantes) ?

Et j'ajouterais : est-ce qu'elles sont plus faciles à résoudre que l'équation non linéaire

N = xy

avec N entier fixé, x,y entiers ? Puisque après tout, cette équation aussi donne un critère de primalité pour N (mais qui découle immédiatement de la définition, restons simples...).

[Basse789]

Bonjour.



Et j'ajouterais : est-ce qu'elles sont plus faciles à résoudre que l'équation non linéaire

N = xy

avec N entier fixé, x,y entiers ? Puisque après tout, cette équation aussi donne un critère de primalité pour N (mais qui découle immédiatement de la définition, restons simples...).

Bonjour,
Je pense que tu as raison, ça a le mérite de voir une autre approche, mais après réflexion, ça ne résout rien.