Un seul point dans chaque triangle

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Imod
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Un seul point dans chaque triangle

par Imod » 22 Juil 2009, 23:03

Bonsoir :chef:

On considère un polygone convexe à sommets . Peut-on choisir points du plan du polygone de façon à ce que dans chaque triangle dont les sommets sont choisis parmi ceux du polygone figure un et un seul de ces points ?

Pas facile alors bon courage :zen:

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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 23 Juil 2009, 07:56

Est-ce que tu pourrais préciser un peu plus l'énoncé, ça m'aiderait beaucoup ^^

Imod
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par Imod » 23 Juil 2009, 09:50

Un petit dessin plutôt qu'un long discourt

Image

Pour ce polygone à sommets on peut trouver points rouges tels que tout triangle construit avec les sommets du polygone contient exactement un point rouge .

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nodjim
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par nodjim » 24 Juil 2009, 06:33

En mettant les points dans les triangles périphériques formés à partir de 3 points successifs du polygone, ça se passe très bien, il me semble.

skilveg
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par skilveg » 24 Juil 2009, 09:52

Ce n'est pas clair. Il se peut que certains de ces points tombent sur une diagonale...

Imod
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par Imod » 24 Juil 2009, 12:55

Il faut en effet choisir les points rouges à proximité des côtés et/ou des sommets , mais bon , on fait des maths et tout cela mérite quelques précisions :we:

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nodjim
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par nodjim » 24 Juil 2009, 20:54

De chaque sommet, on peut construire n-2 triangles associés à 2 autres sommets consécutifs.
Il y a donc au plus n-2 points possibles dans le polygone.
Un triangle périphérique se construit à partir de 3 sommets consécutifs.
Il est toujours partagé en n-2 secteurs.
On décide de numéroter les sommets de 1 à n dans le sens horaire.
On trace toutes les diagonales dans le polygone.
Quand on a placé un point, on noircit tous les secteurs où on ne pourra plus mettre un 2ème point.
On met un point dans le 1er secteur du 1er triangle 1,2,3.
Le triangle 1,2,3 et le triangle n,1,2 sont noircis.
Chacun des autres triangles périphériques aura un et un seul de son secteur noirci. On continue dans le sens horaire et on met un point dans le 1er secteur libre du triangle 2,3,4. On noircira alors le triangle 2,3,4 complet et un seul des secteurs des autres triangles.
Si on compte bien, on arrive bien à marquer n-2 points.

Imod
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par Imod » 24 Juil 2009, 23:35

nodjim a écrit:Un triangle du polygone, c'est 2 sommets voisins associés à un 3ème. De chaque sommet, on peut construire n-2 triangles...

Ce n'est pas aussi simple , pour un hexagone par exemple , n'est pas formé de cette façon et la construction que tu en déduis tombe à l'eau :briques:

Imod

nodjim
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par nodjim » 25 Juil 2009, 09:49

C'est vrai, tu as raison, c'est que A1,A3 et A5 ne m'intéressent pas vraiment, puisque je ne considère que les triangles périphériques. Il faut que je reformule ma démo. ça ne change rien au reste.

Imod
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par Imod » 25 Juil 2009, 12:25

nodjim a écrit:ça ne change rien au reste.

Pas si sûr ...

Imod

nodjim
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par nodjim » 25 Juil 2009, 17:47

Imod a écrit:Pas si sûr ...

Imod


Si, puisque les triangles formés avec 3 sommets non consécutifs 2 à 2 n'atteignent pas les triangles périphériques.

Imod
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par Imod » 25 Juil 2009, 20:16

En effet ça marche très bien et en plus c'est plutôt facile à démontrer .

Image
Joli :++:

Imod

nodjim
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par nodjim » 26 Juil 2009, 08:00

Merci. beau dessin.

 

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