Série convergente
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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MMu
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par MMu » 11 Mar 2012, 01:20
Salut ami(e)s des défis, voici un problème sympa :
A partir d'une suite
de nombres réels positifs, on définit la récurrence
Montrer que la série
est convergente
:zen:
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nodjim
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par nodjim » 11 Mar 2012, 11:48
ça semble assez évident tout de même: cette somme est inférieure à la sommation du plus grand "a" répété à l'infini (donc a/(a+1) max), dont le résultat est x0(a+1).
C'est très malin comme présentation, sinon.
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MMu
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par MMu » 12 Mar 2012, 03:42
nodjim a écrit:ça semble assez évident tout de même: cette somme est inférieure à la sommation du plus grand "a" répété à l'infini (donc a/(a+1) max), dont le résultat est x0(a+1).
C'est très malin comme présentation, sinon.
Je ne trouve pas cela si évident .
Que veut dire "le plus grand
a" , par ex si la suite
parcourt tous les rationnels positifs ? ! :zen:
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nodjim
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par nodjim » 12 Mar 2012, 20:37
Dans ce cas, je donne ma langue au chat...
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nodjim
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par nodjim » 12 Mar 2012, 20:43
Mais, si on choisit les an de telle sorte que le résultat de chaque xn est au moins égal à 1/n, n'a t on pas alors une suite divergente ?
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par MMu » 12 Mar 2012, 23:16
nodjim a écrit:Mais, si on choisit les an de telle sorte que le résultat de chaque xn est au moins égal à 1/n, n'a t on pas alors une suite divergente ?
Ce que tu écris est impossible .. :lol3: Indication : étudier la suite
:zen:
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nodjim
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par nodjim » 13 Mar 2012, 21:16
Bon avec l'indice c'est plus facile:
x(n+1)a(n+1)+x(n+1)=anxn
On en tire x(n+1)=anxn-a(n+1)x(n+1)
Par sommation des xn et téléscopage, On a S < a0x0
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