Séquence de nombres

[alice02]

Soit un entier strictement positif et soit , avec , des entiers strictement positifs distincts appartenant `a l’ensemble tels que n divise pour

Montrer que ne divise pas .

[Ben314]

Salut,
Pour tout posons et .
(1) et sont premiers entre eux (car et ) et divisent tout les deux donc .
(2) Pour l'hypothèse nous dit que, .
Or donc c'est à dire ou encore .
Mais donc en fait c'est à dire .
(3) De (1) et (2) on déduit que c'est à dire que et, si divisait , on aurait aussi (idem (2)) donc c'est à dire et tout les seraient égaux (à un certain ).
Or dans ce cas, le (1) nous dirait que et le (2) que donc les seraient aussi tous égaux à un certain avec et
Mézalors, pour tout on aurait avec (car ) et, comme on aurait or, comme , il y a une unique solution à cette congruence donc en fait tout les sont égaux.

P.S. Donc on peut même "diminuer" l'hypothèse de départ en supposant uniquement que les ne sont pas tous égaux plutôt que de les supposer (deux à eux) distincts.

[alice02]

Thanks Ben314, but I don't understand...
Someone can traslate it in english??
Thanks

[Ben314]

For let and .
(1) and are coprimes (because and ) and both of them divides so .
(2) For we know that so .
But so, in fact, so and .
But sot and .
(3) From (1) and (2) we deduct that so .
If we supose further that divides , we have (same as (2)) so and witch mean that all the are same (equal to some integer ).
But, in this case (1) say that and (2) say that so the ares same and are equal to some integer with and
Now, for all we have with (because ).
We have also so but this équation have only one solution (because ) so all the are same.

[nodgim]

Il faudrait que n divise le plus grand nombre de la suite A et aussi A-1, c'est à dire qu'il faudrait que n divise A(A-1), n serait alors plus grand que les autres produits.
Si j'ai bien compris l'énoncé.

[Matt_01]

An other way to do it would be to show by induction that for , (using the fact that ).
Therefore , so . Since and are different and , we can't have . Then it follows that doesn't divide .

[alice02]

Thanks Ben314,
I understand all exept the final part.
Can you explain better the final part? (where is exactly the absurd and why there is only one solution?)

And what mean in english "
Donc on peut même "diminuer" l'hypothèse de départ en supposant uniquement que les ne sont pas tous égaux plutôt que de les supposer (deux à eux) distincts." ?