Salut

[mochkil]

Soient trois réels x,y et z strictement positifs
Montrer que :
x³/(x²+xy+y²) +y³/(y²+yz+z²)+z³/(z²+zx+x²) >= (x+y+z)/3

[huntersoul]

slt
svp est ce que ce que je vais écrire maintenant est juste
on 2(x+y)²>=0
donc 2x²+4xy+2y²>=0 et x>0
alors 2x^3+4x²y+2xy²>=0
2x^3>=4x²y+2xy²
2x^3>= x²y+ xy²
3x^3>=x^3+x²y+ xy²
(x^3)/(x²+xy+y²)>=x/3
et de même on démontrera les autres
ce qui donne x³/(x²+xy+y²) >= (x)/3
et y³/(y²+yz+z²) >= y/3
et z³/(z²+zx+x²) >= z/3
donc x³/(x²+xy+y²) +y³/(y²+yz+z²)+z³/(z²+zx+x²) >= (x+y+z)/3
j espère que c'est juste

[mochkil]

aucune reponse

[charif]

jejejejjejejjejejjejeje
j'ai passé des nuits et des nuits l'an dernier pour résoudre cette inégalité
jejejjejjejejjej
je pense qu'il y a une erreur...!!!!!
c'est l'OIM 2004

[mochkil]

il n'y a aucune erreur!!!!!!

[mochkil]

la solution est tres simple

[mochkil]

est ce que il y a qlqun qui m'interesse a ce probleme?????????
on peut discuter la solution ensemble.

[redwolf]

Bonsoir.

Laisse nous le temps de réfléchir !!!
Je m'intéresse à ton problème depuis le jour où tu l'as posé, mais je n'ai pas encore trouvé.

Patience ! Reparlons en dans quelques jours...

A bientôt

[redwolf]

Bonjour, voici le fruit de mes cogitations :

L'inégalité est symétrique en , et . On peut donc supposer que .
Posons et . Il s'agit donc de montrer que
.
Mais pour montrer que ne suffit-il pas de montrer que ?

[redwolf]

Eh bien non, bien sur !
Mais dans le cas d'espèce, si. En effet, comme et sont supérieurs à 1, et sont inférieurs à , tandis que est inférieur à 1 et est donc supérieur à .
Autrement dit, c'est le plus grand nombre ( ) qui a le plus grand coefficient. Il peut donc facilement "prêter" un peu de son coefficient aux deux autres.
Formellement :

qui est supérieur à .

La suite ce soir, je mets trop de temps à taper toutes ces lettres grecques...

[redwolf]

Bon, je pose et .
.
Il s'agit de démontrer que le numérateur est supérieur au dénominateur. On les développe, chacun comporte 27 termes dont 24 se simplifient (chacun fait le calcul chez soi, je ne vais pas tout taper).
A la fin, il reste à voir que
.
Utilisons le fait que : il reste à montrer que , soit (en multipliant par ), que
.
A ce stade, n'hésitons pas à écrire et avec et positifs.
On développe le membre de droite :

qui est clairement inférieur au membre de gauche :
.

Ceci achève de démontrer l'inégalité.
Par pitié, mochkil ! Livre moi la solution élégante car la mienne est tout de même un peu sauvage...

[mochkil]

j'ai lu votre solution et je vais la relire mais j'ai pas le temps de vous citer la mienne je suis navri mais ok pour samedi . je vous promis si le dieu veut

[mochkil]

x³/(x²+xy+y²)–(2x-y)/3= (x+y)(x-y) ²/(3(x²+xy+y²) );)0
y³/(y²+yz+z²) -(2y-z)/3=(y+z)(y-z) ² /(3(y²+yz+z²)) ;)0
z³/(z²+zx+x²)- (2z-x)/3=(z+x)(z-x) ²/(3(z²+zx+x²) ) ;)0
donc on fait la somme
x³/(x²+xy+y²) +y³/(y²+yz+z²)+z³/(z²+zx+x²)- (x+y+z)/3 ;)0
c.q.f.d