Rien que des 1

[raptor77]

Bonjour Question n°1 :Existe-t-il un entier qui est le cube d’un nombre entier et dont les 2004 derniers chiffres sont exclusivement des 1 ?

Question n°1 :Existe-t-il un entier qui est un multiple de 2004 et qui est constitué par une suite de chiffres 1 suivie d’une suite de chiffres 0 ?


Bonne chance

[raptor77]

Personne ne veut esquisser une réponse?

[aviateurpilot]

des indices
Question n°1
si a est ce nombre
alors il existe b /

Question n°2
s'il contient a zéro et b 1

[BiZi]

Bonjour,

traduction de l'énoncé: on cherche un entier a qui s'écrit a=x^3 avec x un entier, avec de plus a=111111111...111(2004 fois) modulo 10^2004

1111....111 (2004 fois)=((10^2004)-1)/9

D'où 9a=-1 modulo 10^2004

Soit (9(x^3))+1=10^2004*k avec k un entier.

Comme 9*(x^3)+1=1 modulo 9, on a 10^2004*k=1 modulo 9.

Or 10^2004=1 modulo 9, d'où k=1 modulo 9, d'où k=9k'+1.

Par conséquent, 3 ne divise pas x^3, donc ne divise pas 3.


Si x=1 modulo 3, on a x^3=9 modulo 81, d'où x^3+1=10 modulo 81.

Comme 10^2004=55 modulo 81, on a 55k=10 modulo 81.

En résolvant cette équation, on obtient k=10*28=280=18 modulo 81.

D'où k=81 k''+18, et comme PGCD(81k"+18;9(x^3)) différent de 1, il y'a contradiction.

Avec x=2 modulo 3, en procédant de la même manière, on obtien x^3=72 modulo 81, d'où x^3+1=73 modulo 81.

On obtient donc l'équation 55k=73 modulo 81, d'où k=19 modulo 81.

En injectant tout ca, on obtient

9*((3k'''+2)^3)+1=(10^2004)*(81k"+19)=(10^2006)+10^2004*81(k-1)

ce qui est absurde.


Bon c'est pas très élégant comme méthode je reconnais :ptdr:

[lazard-fez]

a,b et c sont des nombres reels strictement positifs tels ke a+b+c=1
montré ke (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)>=64